Seja um operador linear definido no espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo . Mostre que são válidas as seguintes afirmações: para todo ;
Passo 1
O enunciado diz que é um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo (com produto interno, para existir adjunto) e pede para mostrar que, para qualquer polinômio em , vale
Vamos usar as propriedades básicas do adjunto e uma prova em dois passos: primeiro para monômios e depois estender por linearidade ao polinômio geral.
Passo 2
Recordando as propriedades do adjunto, valem para quaisquer operadores e escalar :
Aqui, se F=R então overlinealpha=alpha.
Passo 3
Prova por indução de que l(T^kr)^* = (T^*)^k para todo inteiro k>=0.
Base k=0: T^0=I, logo (T^0)^*=I^*=I=(T^*)^0.
Passo indutivo: suponha (T^k)^*=(T^*)^k. Então