Seja T: V V um operador linear definido no espaço vetorial V de dimensão finita sobre o corpo F. Mostre que são válidas as seguintes afirmações:
p(T^*)=(p(T))^* para todo p in P[t, F];

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo F (com produto interno, para existir adjunto) e pede para mostrar que, para qualquer polinômio p(t)=a0 + a1 t + cdots + an t^n em F[t], vale
pl(T^*r) ;=;l(p(T)r)^*
Vamos usar as propriedades básicas do adjunto e uma prova em dois passos: primeiro para monômios t^k e depois estender por linearidade ao polinômio geral.

Passo 2

Recordando as propriedades do adjunto, valem para quaisquer operadores S,R e escalar alphain F:
( S + R )^* = S^* + R^*, (alpha S)^* = alpha,S^*, (SR)^* = R^*,S^*, I^* = I
Aqui, se F=R então overlinealpha=alpha.

Passo 3

Prova por indução de que l(T^kr)^* = (T^*)^k para todo inteiro k>=0.
Base k=0: T^0=I, logo (T^0)^*=I^*=I=(T^*)^0.
Passo indutivo: suponha (T^k)^*=(T^*)^k. Então
l(T^k+1r)^* =l(T^k,Tr)^* = T^*,l(T^kr)^* = T^*, (T^*)^k = (T^*)^k+1
Assim a propriedade vale para todo k.

Passo 4

Escrevendo o polinômio
p(T)=a0 I + a1 T + a2 T^2 + cdots + an T^n,
temos usando a aditividade e compatibilidade com escalares do adjunto:
l(p(T)r)^* = a0^* I^* + a1^*,T^* + a2^*,l(T^2r)^* + cdots + an^*,l(T^nr)^* = a0 I + a1 (T^*) + a2 (T^*)^2 + cdots + an (T^*)^n = pl(T^*r)

Resposta

pl(T^*r) ;=;l(p(T)r)^*,
para todo polinômio pin F[t].

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