Qual a condição necessária para que uma sequência ( u, v ) seja linearmente dependente?

Passo 1

O enunciado quer saber qual a condição necessária para que a sequência de dois vetores (u,v) seja linearmente dependente. O conteúdo envolvido é definição de dependência linear em espaços vetoriais, e vamos usar que uma sequência de vetores é LD se há combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Passo 2

Pela definição, (u,v) é linearmente dependente se e somente se existem escalares alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha,u + beta,v = 0

Passo 3

Como estamos só com dois vetores, numa relação alpha,u + beta,v=0 pelo menos um dos coeficientes é não nulo. Se alphaneq0, podemos isolar
u = l(-tfracbetaalphar),v,
mostrando que u e v são colineares. Similarmente, se betaneq0 obtém-se v=lambda,u.

Resposta

A condição necessária (e suficiente) é que exista lambda tal que
u = lambda,v (ou, equiva<=ntemente, (v=lambda',u)),
ou, de forma mais geral, que existam alpha,beta, não ambos zero, com
alpha,u + beta,v = 0

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