Seja T: V V um operador linear definido no espaço vetorial V de dimensão finita sobre o corpo F. Mostre que são válidas as seguintes afirmações:
Os polinômios característicos de T e de seu adjunto T^* são iguais;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V de dimensão finita sobre um corpo F equipado com uma forma bilinear simétrica não degenerada lang<=cdot,cdotrang<=, o polinômio característico de um operador linear
Tcolon Vto V
é o mesmo que o polinômio característico de seu adjunto T^*, definido por
lang<= T(v),wrang<= ;=;lang<= v,T^*(w)rang<= forall,v,win V
O conteúdo aqui é álgebra linear: representação matricial de operadores e propriedades de determinante.

Passo 2

Escolhemos uma base ortonormal e1,dots,en de V em que a forma bilinear tem matriz de Gram igual à matriz identidade In. Nessa base, denotamos por A a matriz de T, ou seja
Aij=lang<= T(ej),eirang<=,
e por B a matriz de T^*, de forma análoga
Bij=lang<= T^*(ej),eirang<=

Passo 3

Pela definição do adjunto, para todo i,j vale
lang<= T(ej),eirang<= ;=; lang<= ej,T^*(ei)rang<=
Isto dá
Aij ;=; Bji,
ou seja, a matriz de T^* é exatamente a transposta de A:
B = A^T

Passo 4

O polinômio característico de T é
chiT(lambda)=detl(A - lambda Inr),
e o de T^* é
chiT^*(lambda)=detl(B - lambda Inr) =detl(A^T - lambda Inr)
Mas como para toda matriz quadrada M vale det(M^T)=det(M), segue
chiT^*(lambda) =detl((A - lambda In)^Tr) =detl(A - lambda Inr) =chiT(lambda)

Resposta

Portanto, o polinômio característico de T coincide com o de T^*:
chiT(lambda)=chiT^*(lambda)

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