Seja
um operador linear definido no espaço vetorial
de dimensão finita sobre o corpo
. Mostre que são válidas as seguintes afirmações:
Os polinômios característicos de
e de seu adjunto
são iguais;
Os polinômios característicos de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
de dimensão finita sobre um corpo
equipado com uma forma bilinear simétrica não degenerada
, o polinômio característico de um operador linear
é o mesmo que o polinômio característico de seu adjunto
, definido por
O conteúdo aqui é álgebra linear: representação matricial de operadores e propriedades de determinante.
Passo 2
Escolhemos uma base ortonormal
de
em que a forma bilinear tem matriz de Gram igual à matriz identidade
. Nessa base, denotamos por
a matriz de
, ou seja
e por
a matriz de
, de forma análoga
Passo 3
Pela definição do adjunto, para todo
vale
Isto dá
ou seja, a matriz de
é exatamente a transposta de
:
Passo 4
O polinômio característico de
é
e o de
é
Mas como para toda matriz quadrada
vale
, segue
Resposta
Portanto, o polinômio característico de
coincide com o de
: