8. Uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal
(a) Mostre que os vetores
formam uma base ortogonal de
com o produto interno euclidiano, e use essa base para encontrar uma base ortonormal normalizando cada vetor.
(b) Expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal obtida na parte (a).
(b) Expresse o vetor
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
em
com o produto interno usual. Precisamos:
. Mostrar que eles são mutuamente ortogonais e, por terem dimensão
, formam então uma base ortogonal de
.
. Normalizar cada um para obter uma base ortonormal.
. Expressar
como combinação linear dessa base ortonormal, usando que em base ortonormal o coeficiente em
é
.
Passo 2
Verificamos os produtos internos entre pares distintos:
,
,
.
Como nenhum é o vetor zero e todos os pares são ortogonais,
é base ortogonal de
.
Como nenhum
Passo 3
Calculamos as normas e normalizamos:
;
;
.
;
;
.
;
;
.
Assim é uma base ortonormal.
Assim
Passo 4
Em base ortonormal, o coeficiente de
na expansão de
é
Logo
,
,
.
Passo 5
Portanto
Resposta
A base ortonormal é
,
,
.
E
.
E