8. Uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal

(a) Mostre que os vetores
w1=(0,2,0), w2=(3,0,3), w3=(-4,0,4)
formam uma base ortogonal de R^3 com o produto interno euclidiano, e use essa base para encontrar uma base ortonormal normalizando cada vetor.
(b) Expresse o vetor u=(1,2,4) como uma combinação linear dos vetores da base ortonormal obtida na parte (a).

Passo 1

O enunciado dá os vetores w1=(0,2,0), w2=(3,0,3) e w3=(-4,0,4) em R^3 com o produto interno usual. Precisamos:
1. Mostrar que eles são mutuamente ortogonais e, por terem dimensão 3, formam então uma base ortogonal de R^3.
2. Normalizar cada um para obter uma base ortonormal.
3. Expressar u=(1,2,4) como combinação linear dessa base ortonormal, usando que em base ortonormal o coeficiente em vi é ai=lang<= u, virang<=.

Passo 2

Verificamos os produtos internos entre pares distintos:
lang<= w1, w2rang<==0cdot3+2cdot0+0cdot3=0,
lang<= w1, w3rang<==0cdot(-4)+2cdot0+0cdot4=0,
lang<= w2, w3rang<==3cdot(-4)+0cdot0+3cdot4=-12+12=0.
Como nenhum wi é o vetor zero e todos os pares são ortogonais, w1, w2, w3 é base ortogonal de R^3.

Passo 3

Calculamos as normas e normalizamos:
|w1|=raiz0^2+2^2+0^2=2; Rightarrow; v1=w1/2=(0,1,0).
|w2|=raiz3^2+0^2+3^2=3raiz2; Rightarrow; v2=w2/(3raiz2)=(1/raiz2,0,1/raiz2).
|w3|=raiz(-4)^2+0^2+4^2=4raiz2; Rightarrow; v3=w3/(4raiz2)=(-1/raiz2,0,1/raiz2).
Assim v1,v2,v3 é uma base ortonormal.

Passo 4

Em base ortonormal, o coeficiente de vi na expansão de u é
ai=lang<= u, virang<=
Logo
lang<= u, v1rang<==1cdot0+2cdot1+4cdot0=2,
lang<= u, v2rang<==(1+4)/raiz2=5/raiz2,
lang<= u, v3rang<==(-1+4)/raiz2=3/raiz2.

Passo 5

Portanto
u =2, v1+5raiz2, v2+3raiz2, v3

Resposta

A base ortonormal é
v1=(0,1,0),
v2=(1/raiz2,0,1/raiz2),
v3=(-1/raiz2,0,1/raiz2).
E
u=2, v1+tfrac5raiz2, v2+tfrac3raiz2, v3.

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