De uma base \overline{\mathrm{AB}}, definida por \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=132^{\circ} 32^{\prime} e \overline{\mathrm{AB}}=415,70 \mathrm{~m} foram levantados por interseção direta, dois pontos M e P , registrando-se as seguintes medidas angulares:
\begin{array}{lll} \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AM}}=58^{\circ} 17^{\prime} & ; & \mathrm{A} z \overline{\mathrm{BM}}=325^{\circ} 46^{\prime} ; \\\ \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AP}}=162^{\circ} 50^{\prime} & ; & \mathrm{A} z \overline{\mathrm{BP}}=218^{\circ} 08^{\prime} \end{array}
Solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares dos pontos M e P ;
b) a extensāo e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{MP}}.
Adotar, para a estaçāo \mathrm{A}: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=3000,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=3520,00 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma base \overline{AB} com azimute \mathrm{Az}\,\overline{AB}=132^\circ32' e distância \overline{AB}=415{,}70,m, e adota as coordenadas de A:
X_A=3000{,}00\text{ m},\quad Y_A=3520{,}00\text{ m}.
Foram observados os azimutes \mathrm{Az}\,\overline{AM}=58^\circ17', \mathrm{Az}\,\overline{BM}=325^\circ46' para localizar M, e \mathrm{Az}\,\overline{AP}=162^\circ50', \mathrm{Az}\,\overline{BP}=218^\circ08' para P.
Conteúdo: coordenadas de um ponto obtido por interseção direta de duas retas orientadas. Vamos primeiro achar B, depois resolver interseção dos ramos de vértices A e B para M e para P, usando senos e cossenos e regra de Cramer.

Passo 2

Calcular as coordenadas de B. Primeiro convertemos o azimute em graus decimais:
\mathrm{Az}\,\overline{AB}=132^\circ32'=132+\frac{32}{60}=132{,}5333^\circ.
As fórmulas são
X_B = X_A + AB\;\sin\bigl(\mathrm{Az}\,\overline{AB}\bigr), \quad Y_B = Y_A + AB\;\cos\bigl(\mathrm{Az}\,\overline{AB}\bigr).
Logo
X_B = 3000{,}00 + 415{,}70\;\sin(132{,}5333^\circ)\approx 3000{,}00 + 306{,}52 = 3306{,}52\text{ m},
Y_B = 3520{,}00 + 415{,}70\;\cos(132{,}5333^\circ)\approx 3520{,}00 - 281{,}12 = 3238{,}88\text{ m}.

Passo 3

Localizar M pela interseção das retas de azimutes \alpha=\mathrm{Az}\,\overline{AM}=58^\circ17' e \beta=\mathrm{Az}\,\overline{BM}=325^\circ46'. Convertemos:
\alpha=58+17/60=58{,}2833^\circ,\quad \beta=325+46/60=325{,}7667^\circ.
Denotemos \Delta X=X_B-X_A e \Delta Y=Y_B-Y_A. As direções unitárias são
\bigl(\sin\alpha,\cos\alpha\bigr) e \bigl(\sin\beta,\cos\beta\bigr).
Pela regra de Cramer, a distância d_{AM}=t satisfaz
t = \frac{\Delta X\cos\beta - \Delta Y\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}.
Numericamente
\Delta X=3306{,}52-3000{,}00=306{,}52,
\Delta Y=3238{,}88-3520{,}00=-281{,}12,
t = \frac{306{,}52\cos(325{,}7667^\circ) \;-\;(-281{,}12)\sin(325{,}7667^\circ)} {\sin\bigl(58{,}2833^\circ - 325{,}7667^\circ\bigr)} \approx \frac{306{,}52\cdot0{,}8263 -(-281{,}12)\cdot(-0{,}5630)}{0{,}9990} \approx 95{,}00\text{ m}.
Então
X_M = X_A + t\,\sin\alpha \approx 3000{,}00 + 95{,}00\cdot0{,}8508 =3080{,}80\text{ m},
Y_M = Y_A + t\,\cos\alpha \approx 3520{,}00 + 95{,}00\cdot0{,}5255 =3569{,}90\text{ m}.

Passo 4

De modo análogo, para P usamos
\alpha'=162^\circ50'=162{,}8333^\circ e \beta'=218^\circ08'=218{,}1333^\circ.
t' = \frac{\Delta X\cos\beta' - \Delta Y\sin\beta'}{\sin(\alpha'-\beta')} \approx \frac{306{,}52\cdot(-0{,}7858) -(-281{,}12)\cdot(-0{,}6185)}{\sin(-55{,}3000^\circ)} \approx 504{,}40\text{ m}.
Logo
X_P = X_A + t'\,\sin\alpha' \approx 3000{,}00 + 504{,}40\cdot0{,}2954 =3149{,}00\text{ m},
Y_P = Y_A + t'\,\cos\alpha' \approx 3520{,}00 + 504{,}40\cdot(-0{,}9554) =3038{,}00\text{ m}.

Passo 5

Agora \Delta X_{MP}=X_P-X_M=3149{,}00-3080{,}80=68{,}20,
\Delta Y_{MP}=Y_P-Y_M=3038{,}00-3569{,}90=-531{,}90.
A distância
MP = \sqrt{(\Delta X_{MP})^2 + (\Delta Y_{MP})^2} \approx \sqrt{68{,}20^2 + (-531{,}90)^2} \approx 536{,}20\text{ m}.
O azimute de M para P é
\mathrm{Az}\,\overline{MP} = \operatorname{atan2}(\Delta X_{MP},\,\Delta Y_{MP}) \approx 172{,}68^\circ =172^\circ 41'.

Resposta

a) M\bigl(3080{,}80;\;3569{,}90\bigr), \quad P\bigl(3149{,}00;\;3038{,}00\bigr).
b) \overline{MP}=536{,}20,m, \quad \mathrm{Az}\,\overline{MP}=172^\circ41'.

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