De uma base \overline{\mathrm{AB}}, definida por \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=132^{\circ} 32^{\prime} e \overline{\mathrm{AB}}=415,70 \mathrm{~m} foram levantados por interseção direta, dois pontos M e P , registrando-se as seguintes medidas angulares:
\begin{array}{lll} \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AM}}=58^{\circ} 17^{\prime} & ; & \mathrm{A} z \overline{\mathrm{BM}}=325^{\circ} 46^{\prime} ; \\\ \mathrm{A} z \overline{\mathrm{AP}}=162^{\circ} 50^{\prime} & ; & \mathrm{A} z \overline{\mathrm{BP}}=218^{\circ} 08^{\prime} \end{array}
Solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares dos pontos M e P ;
b) a extensāo e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{MP}}.
Adotar, para a estaçāo \mathrm{A}: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=3000,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=3520,00 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado dá uma base \overline{AB} com azimute \mathrm{Az}\,\overline{AB}=132^\circ32' e distância \overline{AB}=415{,}70,m, e adota as coordenadas de A:
Foram observados os azimutes \mathrm{Az}\,\overline{AM}=58^\circ17', \mathrm{Az}\,\overline{BM}=325^\circ46' para localizar M, e \mathrm{Az}\,\overline{AP}=162^\circ50', \mathrm{Az}\,\overline{BP}=218^\circ08' para P.
Conteúdo: coordenadas de um ponto obtido por interseção direta de duas retas orientadas. Vamos primeiro achar B, depois resolver interseção dos ramos de vértices A e B para M e para P, usando senos e cossenos e regra de Cramer.
Passo 2
Calcular as coordenadas de B. Primeiro convertemos o azimute em graus decimais:
Localizar M pela interseção das retas de azimutes \alpha=\mathrm{Az}\,\overline{AM}=58^\circ17' e \beta=\mathrm{Az}\,\overline{BM}=325^\circ46'. Convertemos:
Denotemos \Delta X=X_B-X_A e \Delta Y=Y_B-Y_A. As direções unitárias são \bigl(\sin\alpha,\cos\alpha\bigr) e \bigl(\sin\beta,\cos\beta\bigr).
Pela regra de Cramer, a distância d_{AM}=t satisfaz
t = \frac{\Delta X\cos\beta - \Delta Y\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}.
a) M\bigl(3080{,}80;\;3569{,}90\bigr), \quad P\bigl(3149{,}00;\;3038{,}00\bigr).
b) \overline{MP}=536{,}20,m, \quad \mathrm{Az}\,\overline{MP}=172^\circ41'.