Conhecendo-se a base \overline{\mathrm{AM}} ( um dos alinhamentos de uma poligonal aberta ), definida pelos elementos \mathrm{R} \overline{\mathrm{AM}}=58^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{SE} e \overline{\mathrm{AM}}=218,50 \mathrm{~m}, levantou-se um ponto B , pelo método da interseção lateral, medindo-se:
\mathrm{R}_{\overline{\mathrm{AB}}}=62^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{NE} ; \mathrm{R}_{\overline{\mathrm{BM}}}=19^{\circ} 45^{\prime} \mathrm{SW}
Solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares do ponto B , sabendo-se que \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=850,00 \mathrm{me} \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=670,00 \mathrm{~m};
b) a extensão do alinhamento \overline{\mathrm{MB}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{MB}} e \overline{\mathrm{MA}}.

Passo 1

Resumindo: conhecemos o alinhamento \overline{AM} com rumo
R_{\overline{AM}} = S\,58^\circ30'\,E
e distância \overline{AM}=218{,}50 m, e a posição de A em
X_A = 850{,}00\text{ m},\quad Y_A = 670{,}00\text{ m}.
O ponto B foi definido por interseção lateral, medindo-se em A o rumo
R_{\overline{AB}} = N\,62^\circ30'\,E
e em B o rumo
R_{\overline{BM}} = S\,19^\circ45'\,W.
Vamos:
  1. converter cada rumo em azimute (clockwise a partir do norte),
  2. obter as coordenadas de M a partir de A,
  3. escrever as equações paramétricas dos dois feixes ( A\to B e M\to B),
  4. resolver a interseção,
  5. extrair X_B,Y_B, distância MB e por fim expressar os rumos de \overline{MB} e \overline{MA}.

Passo 2

Converter rumos em azimutes e calcular M:
  • Para \overline{AM}: R_{\overline{AM}}=S\,58^\circ30'\,E\;\Longrightarrow\; \alpha_{AM}=180^\circ-58^\circ30'=121^\circ30'.As coordenadas de M são \begin{cases} X_M = X_A + AM\;\sin\alpha_{AM},\\\ Y_M = Y_A + AM\;\cos\alpha_{AM}. \end{cases}Calculando \sin121^\circ30'=\sin58^\circ30'\approx0{,}85264,\quad \cos121^\circ30'=-\cos58^\circ30'\approx-0{,}52250,
\delta X = 218{,}50\cdot0{,}85264\approx186{,}28,\quad \delta Y = 218{,}50\cdot(-0{,}52250)\approx-114{,}16,
X_M = 850{,}00 + 186{,}28 = 1036{,}28,\quad Y_M = 670{,}00 - 114{,}16 = 555{,}84.

Passo 3

Parametrizar os feixes:
  • De A\) em direção a \(B\): \[R_{\overline{AB}}=N\,62^\circ30'\,E\;\Longrightarrow\;\alpha_{AB}=62^\circ30',vetor diretor unitário
    \bigl(\sin62^\circ30',\cos62^\circ30'\bigr)\approx(0{,}88388,0{,}46793), \begin{cases} x = 850{,}00 + t\cdot0{,}88388,\\\ y = 670{,}00 + t\cdot0{,}46793. \end{cases}
  • De M\] em direção a \[B: o rumo de B\to M é S\,19^\circ45'\,W\Rightarrow\alpha_{BM}=180^\circ+19^\circ45'=199^\circ45'.
    Logo de M a B o azimute é
    \alpha_{MB}=\alpha_{BM}-180^\circ=19^\circ45'.
    Vetor unitário \bigl(\sin19^\circ45',\cos19^\circ45'\bigr)\approx(0{,}33874,0{,}94088), \begin{cases} x = 1036{,}28 + s\cdot0{,}33874,\\\ y = 555{,}84 + s\cdot0{,}94088. \end{cases}
Igualamos as duas retas para determinar t\] e \(s:
\begin{cases} 850 + 0{,}88388\,t = 1036{,}28 + 0{,}33874\,s,\\\\ 670 + 0{,}46793\,t = 555{,}84 + 0{,}94088\,s. \end{cases}
Resolvendo (Cramer), obtém-se
t\approx317{,}8,\quad s\approx279{,}5.

Passo 4

Com t achamos as coordenadas de B:
X_B = 850 + 0{,}88388\cdot317{,}8 \approx1130{,}7,\quad Y_B = 670 + 0{,}46793\cdot317{,}8 \approx818{,}7.
A distância \overline{MB} é justamente s\approx279{,}5 m.

Passo 5

Calcular os rumos finais:
  • De M para B, azimute \alpha_{MB}=19^\circ45', isto é R_{\overline{MB}}=N\,19^\circ45'\,E.
  • De M para A (retroazimute de 121^\circ30') é \alpha_{MA}=121^\circ30'+180^\circ=301^\circ30',o que corresponde a R_{\overline{MA}}=N\,58^\circ30'\,W.

Resposta

(a) X_B\approx1130{,}7 m, Y_B\approx818{,}7 m.
(b) \overline{MB}\approx279{,}5 m.
(c)
\displaystyle R_{\overline{MB}}=N\,19^\circ45'\,E,
\displaystyle R_{\overline{MA}}=N\,58^\circ30'\,W.

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