Pelos extremos de uma base \overline{\mathrm{AB}}, definida pelos elementos \mathrm{A} \overline{\mathrm{AB}}=100^{\circ} 20^{\prime} e \overline{\mathrm{AB}}=350,00 \mathrm{~m}, foi levaritado pelo método da interseção direta, um ponto M , com posição definida por \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AM}}=152^{\circ} 08^{\prime} e \mathrm{Az} \overline{\mathrm{BM}}=214^{\circ} 50^{\prime}. Calcular as coordenadas retangulares do ponto M , sabendo-se que as coordenadas retangulares do ponto A são: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=200,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=500,00 \mathrm{~m}.

Passo 1

Estamos em Geodésia, usando coordenadas retangulares e o método de interseção direta. O enunciado nos dá:
– Base AB com azimute \alpha_{AB}=100^\circ20' e comprimento \overline{AB}=350{,}00 m.
– Do ponto A foi observado o ponto M com azimute \alpha_{AM}=152^\circ08'.
– Do ponto B foi observado o ponto M com azimute \alpha_{BM}=214^\circ50'.
– As coordenadas de A são X_A=200{,}00 m, Y_A=500{,}00 m.
Precisamos achar X_M e Y_M.

Passo 2

Primeiro determinamos as coordenadas de B. Convertemos o azimute da base para graus decimais:
\alpha_{AB}=100^\circ20'=100,3333^\circ.
As diferenças de coordenadas são
\Delta X_{AB} = 350\;\sin\bigl(100,3333^\circ\bigr),\quad \Delta Y_{AB} = 350\;\cos\bigl(100,3333^\circ\bigr).
Numericamente,
\Delta X_{AB}\approx350\cdot0,983784=344,324\;\mathrm{m},\quad \Delta Y_{AB}\approx350\cdot(-0,179377)=-62,783\;\mathrm{m}.
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X_B = X_A + \Delta X_{AB}\approx200{,}00 + 344,324 = 544,324\;\mathrm{m},
Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB}\approx500{,}00 - 62,783 = 437,217\;\mathrm{m}.

Passo 3

Agora montamos as retas AM e BM em forma paramétrica. Seja s o parâmetro ao longo de AM e t ao longo de BM. Usamos as direções
\alpha_{AM}=152^\circ08'=152,1333^\circ,\quad \alpha_{BM}=214^\circ50'=214,8333^\circ.
As componentes diretoras são
\begin{aligned} \sin\alpha_{AM}&\approx\sin152,1333^\circ=+0,467737,& \cos\alpha_{AM}&\approx\cos152,1333^\circ=-0,883864,\\\ \sin\alpha_{BM}&\approx\sin214,8333^\circ=-0,572864,& \cos\alpha_{BM}&\approx\cos214,8333^\circ=-0,819658. \end{aligned}
Então
\begin{cases} X_A + s\,\sin\alpha_{AM} = X_B + t\,\sin\alpha_{BM},\\\ Y_A + s\,\cos\alpha_{AM} = Y_B + t\,\cos\alpha_{BM}. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema pelo determinante
D = \sin\alpha_{AM}\,\cos\alpha_{BM} - \sin\alpha_{BM}\,\cos\alpha_{AM} \approx -0,890063,
s = \frac{(X_B - X_A)\cos\alpha_{BM} \;-\;(Y_B - Y_A)\sin\alpha_{BM}}{D} \approx\frac{344,324\cdot(-0,819658) -(-62,783)\cdot(-0,572864)}{-0,890063} \approx357,60\;\mathrm{m}.
Substituímos em X_M = X_A + s\sin\alpha_{AM} e Y_M = Y_A + s\cos\alpha_{AM}:
X_M \approx200{,}00 + 357,60\cdot0,467737 = 367,27\;\mathrm{m},
Y_M \approx500{,}00 + 357,60\cdot(-0,883864) = 183,77\;\mathrm{m}.

Resposta

X_M\approx367{,}27 m
Y_M\approx183{,}77 m

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