Dos extremos do alinhamento \overline{\mathrm{AB}}, definido pelas coordenadas retangulares \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=150,00 \mathrm{~m}; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=400,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=488,85 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=487,63 \mathrm{~m}, foram visados os pontos Me C , registrando-se os seguintes valores:
\begin{array}{ll}\mathrm{R} \overline{\mathrm{AM}}=41^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{NE} ; & \mathrm{R} \overline{\mathrm{AC}}=23^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{SE} \\\ \mathrm{R} \overline{\mathrm{BM}}=48^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{NW} ; & \mathrm{R} \overline{\mathrm{BC}}=30^{\circ} 00^{\prime} \mathrm{SW}\end{array}
Calcular as coordenadas retangulares destes pontos, assím como a extensāo e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{MC}}.

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas de A e B, e quatro direções (quadrante) para os raios AM, AC, BM e BC. Precisamos achar as coordenadas dos pontos M e C como interseção dos pares de retas AM\cap BM e AC\cap BC, e, por fim, calcular a distância e o azimute do alinhamento MC. Vamos usar coordenadas cartesianas, conversão de quadrante em azimute e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Convertemos cada direção de quadrante em azimute (ângulo medido a partir do norte, no sentido horário):
  • R_{AM}=\mathrm{NE}\,41^\circ30'\ \Rightarrow\ \alpha_{AM}=41{,}5^\circ
  • R_{AC}=\mathrm{SE}\,23^\circ30'\ \Rightarrow\ \alpha_{AC}=180^\circ-23{,}5^\circ=156{,}5^\circ
  • R_{BM}=\mathrm{NW}\,48^\circ30'\ \Rightarrow\ \alpha_{BM}=360^\circ-48{,}5^\circ=311{,}5^\circ
  • R_{BC}=\mathrm{SW}\,30^\circ00'\ \Rightarrow\ \alpha_{BC}=180^\circ+30^\circ=210^\circ

Passo 3

Para M\) escrevemos as equações paramétricas das retas \(A\to M\) e \(B\to M\): \[\begin{cases} x = X_A + t\cos\alpha_{AM},\\\ y = Y_A + t\sin\alpha_{AM}, \end{cases} \quad \begin{cases} x = X_B + s\cos\alpha_{BM},\\\ y = Y_B + s\sin\alpha_{BM}. \end{cases}
Substituindo X_A=150\], \[Y_A=400, X_B=488{,}85, Y_B=487{,}63 e aproximando
\cos41{,}5^\circ\approx0{,}749, \sin41{,}5^\circ\approx0{,}662,
\cos311{,}5^\circ\approx0{,}662, \sin311{,}5^\circ\approx-0{,}749, obtemos o sistema
\begin{cases} 150 +0{,}749\,t = 488{,}85 +0{,}662\,s,\\\\ 400 +0{,}662\,t = 487{,}63 -0{,}749\,s. \end{cases}
Reescrevendo
0{,}749\,t -0{,}662\,s =338{,}85, \quad 0{,}662\,t +0{,}749\,s =87{,}63,
resolvendo para t\] e \(s
t\approx312{,}0, \quad s\approx-158{,}9.
Logo as coordenadas de M são
x_M =150 +0{,}749\cdot312{,}0\approx383{,}5, \quad y_M =400 +0{,}662\cdot312{,}0\approx606{,}7.

Passo 4

Para C fazemos o mesmo com os azimutes \alpha_{AC}=156{,}5^\circ e \alpha_{BC}=210^\circ, usando
\cos156{,}5^\circ\approx-0{,}917, \sin156{,}5^\circ\approx0{,}399,
\cos210^\circ\approx-0{,}866, \sin210^\circ\approx-0{,}500. O sistema
\begin{cases} 150 -0{,}917\,u = 488{,}85 -0{,}866\,v,\\\\ 400 +0{,}399\,u = 487{,}63 -0{,}500\,v \end{cases}
ou seja
-0{,}917\,u +0{,}866\,v =338{,}85, \quad 0{,}399\,u +0{,}500\,v =87{,}63,
leva a
u\approx-116{,}0, \quad v\approx268{,}1,
e portanto
x_C =150 -0{,}917\cdot(-116{,}0)\approx256{,}6, \quad y_C =400 +0{,}399\cdot(-116{,}0)\approx353{,}7.

Passo 5

O vetor \overrightarrow{MC} tem componentes
\Delta x = x_C - x_M \approx256{,}6 -383{,}5 = -126{,}9, \quad \Delta y = y_C - y_M \approx353{,}7 -606{,}7 = -253{,}0.
A distância
MC = \sqrt{(-126{,}9)^2 +(-253{,}0)^2}\approx283{,}5\text{ m}.
O azimute medido do norte no sentido horário é
\theta = \operatorname{atan2}(\Delta x,\Delta y) \approx206{,}7^\circ,
o que em quadrante dá
S\,26^\circ42'\,W.

Resposta

Coordenadas de M,: (383{,}5\text{ m},\,606{,}7\text{ m})
Coordenadas de C,: (256{,}6\text{ m},\,353{,}7\text{ m})
Extensão MC=283{,}5\text{ m}
Azimute MC=206^\circ42' (ou S\,26^\circ42'\,W)

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