Dos extremos do alinhamento \overline{\mathrm{AB}}, definido pelas coordenadas retangulares \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=150,00 \mathrm{~m}; \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=400,00 \mathrm{~m} ; \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=488,85 \mathrm{~m} ; \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=487,63 \mathrm{~m}, foram visados os pontos Me C , registrando-se os seguintes valores: \begin{array}{ll}\mathrm{R} \overline{\mathrm{AM}}=41^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{NE} ; & \mathrm{R} \overline{\mathrm{AC}}=23^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{SE} \\\ \mathrm{R} \overline{\mathrm{BM}}=48^{\circ} 30^{\prime} \mathrm{NW} ; & \mathrm{R} \overline{\mathrm{BC}}=30^{\circ} 00^{\prime} \mathrm{SW}\end{array}
Calcular as coordenadas retangulares destes pontos, assím como a extensāo e o azimute do alinhamento \overline{\mathrm{MC}}.
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas de A e B, e quatro direções (quadrante) para os raios AM, AC, BM e BC. Precisamos achar as coordenadas dos pontos M e C como interseção dos pares de retas AM\cap BM e AC\cap BC, e, por fim, calcular a distância e o azimute do alinhamento MC. Vamos usar coordenadas cartesianas, conversão de quadrante em azimute e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Convertemos cada direção de quadrante em azimute (ângulo medido a partir do norte, no sentido horário):
Para M\) escrevemos as equações paramétricas das retas \(A\to M\) e \(B\to M\):
\[\begin{cases} x = X_A + t\cos\alpha_{AM},\\\ y = Y_A + t\sin\alpha_{AM}, \end{cases} \quad \begin{cases} x = X_B + s\cos\alpha_{BM},\\\ y = Y_B + s\sin\alpha_{BM}. \end{cases}
Substituindo X_A=150\], \[Y_A=400, X_B=488{,}85, Y_B=487{,}63 e aproximando
\cos41{,}5^\circ\approx0{,}749, \sin41{,}5^\circ\approx0{,}662, \cos311{,}5^\circ\approx0{,}662, \sin311{,}5^\circ\approx-0{,}749, obtemos o sistema
Para C fazemos o mesmo com os azimutes \alpha_{AC}=156{,}5^\circ e \alpha_{BC}=210^\circ, usando \cos156{,}5^\circ\approx-0{,}917, \sin156{,}5^\circ\approx0{,}399, \cos210^\circ\approx-0{,}866, \sin210^\circ\approx-0{,}500. O sistema