Prove que T é uma transformação linear:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x-z, 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(,x - z,;2x,)
é transformação linear.
Lembrando que T é linear se, para todo u,vinR^3 e todo escalar alphainR, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificamos a aditividade.
Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) =l((x1+x2)-(z1+z2),;2(x1+x2)r) =(x1-z1,;2x1)+(x2-z2,;2x2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade.
Para alphainR e u=(x,y,z),
T(alpha u) =T(alpha x,;alpha y,;alpha z) =l(alpha x-alpha z,;2(alpha x)r) =(alpha(x-z),;alpha(2x)) =alpha,(x-z,;2x) =alpha,T(u)

Passo 4

Como mostramos aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear.

Resposta

T é linear.

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