Sendo
a área total de uma pirâmide quadrangular regular e
o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.
Passo 1
O enunciado nos dá uma pirâmide quadrangular regular com área total
e raio do círculo inscrito na base
. O conteúdo aqui é geometria de pirâmides: a área total é a soma da área da base com a área lateral, sendo esta última dada por semiperímetro da base vezes o apótema lateral. Para resolver, vamos relacionar o raio do incírculo ao lado do quadrado, calcular a área da base, obter a área lateral, extrair o apótema lateral e finalmente usar Pitágoras para achar a altura.
Passo 2
Como a base é um quadrado, o raio do círculo inscrito
vale metade do lado
:
Substituindo
:
Passo 3
A área da base
é
Passo 4
A área lateral
é a diferença entre a área total e a da base:
Passo 5
Para pirâmide quadrangular regular vale
onde
é o apótema lateral. Logo,
Passo 6
No triângulo retângulo formado pela altura
, o apótema lateral
e o apótema da base
, aplicamos Pitágoras:
Resposta
A altura da pirâmide é
.