Sendo 192 m^2 a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3 raiz2 m o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.

Passo 1

O enunciado nos dá uma pirâmide quadrangular regular com área total 192m^2 e raio do círculo inscrito na base 3raiz2m. O conteúdo aqui é geometria de pirâmides: a área total é a soma da área da base com a área lateral, sendo esta última dada por semiperímetro da base vezes o apótema lateral. Para resolver, vamos relacionar o raio do incírculo ao lado do quadrado, calcular a área da base, obter a área lateral, extrair o apótema lateral e finalmente usar Pitágoras para achar a altura.

Passo 2

Como a base é um quadrado, o raio do círculo inscrito r vale metade do lado a:
r = a2
Substituindo r=3raiz2:
3raiz2 = a2 Longrightarrow a = 2cdot3raiz2 = 6raiz2m

Passo 3

A área da base Abase é
Abase = a^2 = l(6raiz2r)^2 = 72m^2

Passo 4

A área lateral Alat é a diferença entre a área total e a da base:
Alat = 192 - 72 = 120m^2

Passo 5

Para pirâmide quadrangular regular vale
Alat = Pbase;l2 = 4a;l2 = 2a,l,
onde l é o apótema lateral. Logo,
2a,l = 120 Longrightarrow l = 1202a = 606raiz2 = 10raiz2 = 5raiz2m

Passo 6

No triângulo retângulo formado pela altura h, o apótema lateral l e o apótema da base tfraca2=3raiz2, aplicamos Pitágoras:
h^2 + l(3raiz2r)^2 = l(5raiz2r)^2 Longrightarrow h^2 + 18 = 50 Longrightarrow h^2 = 32 Longrightarrow h = raiz32 = 4raiz2m

Resposta

A altura da pirâmide é 4raiz2m.

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