Se
é uma base para
, qualquer vetor
pode ser escrito como
Suponha que os as sejam ortogonais. Mostre que
x1=a1^T b / a1^T a1 .
Passo 1
O enunciado diz que
a1,a2,a3 é uma base ortogonal de
R^3 , isto é,
Qualquer vetor
b pode ser escrito como
O objetivo é encontrar uma fórmula para o coeficiente
x1 usando produto interno (ou transposta) e o fato de ortogonalidade.
Passo 2
Aplicamos o produto interno com
a1 em ambos os lados de
Isto é, calculamos
a1^Tb . Fica
Passo 3
Como a base é ortogonal, temos
a1^Ta2=0 e
a1^Ta3=0 . Logo só sobra o primeiro termo:
Isolando
x1 , obtemos