Se a1, a2, a3 é uma base para R^3, qualquer vetor b pode ser escrito como
b=x1 a1+x2 a2+x3 a3 ou [lll a1 & a2 & a3 ][l x1 x2 x3 ]=b
Suponha que os as sejam ortogonais. Mostre que x1=a1^T b / a1^T a1.

Passo 1

O enunciado diz que a1,a2,a3 é uma base ortogonal de R^3, isto é,
ai^Taj = 0para ineq j
Qualquer vetor b pode ser escrito como
b=x1a1 + x2a2 + x3a3
O objetivo é encontrar uma fórmula para o coeficiente x1 usando produto interno (ou transposta) e o fato de ortogonalidade.

Passo 2

Aplicamos o produto interno com a1 em ambos os lados de
b=x1a1 + x2a2 + x3a3
Isto é, calculamos a1^Tb. Fica
a1^Tb = a1^Tl(x1a1 + x2a2 + x3a3r) = x1,a1^Ta1 + x2,a1^Ta2 + x3,a1^Ta3

Passo 3

Como a base é ortogonal, temos a1^Ta2=0 e a1^Ta3=0. Logo só sobra o primeiro termo:
a1^Tb = x1,a1^Ta1
Isolando x1, obtemos
x1 = a1^Tba1^Ta1

Resposta

x1 = a1^Tba1^Ta1

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