Se Q1 e Q2 são matrizes ortogonais, mostre que seu produto Q1 Q2 também é uma matriz ortogonal. (Use Q^T Q=I.)

Passo 1

O enunciado diz que Q1 e Q2 são matrizes ortogonais, isto é,
Q1^TQ1=I e Q2^TQ2=I
Queremos mostrar que o produto Q1Q2 também satisfaz a definição de ortogonalidade, ou seja,
l(Q1Q2r)^Tl(Q1Q2r)=I

Passo 2

Usamos a propriedade do transposto de um produto de matrizes: para quaisquer matrizes A e B compatíveis,
(AB)^T=B^TA^T
Aplicando isso a Q1Q2, obtemos
l(Q1Q2r)^T=Q2^TQ1^T

Passo 3

Agora computamos o produto
l(Q1Q2r)^Tl(Q1Q2r) =Q2^TQ1^T,Q1Q2
Como Q1^TQ1=I, isso simplifica para
Q2^T,I,Q2 =Q2^TQ2
E, por hipótese, Q2^TQ2=I.

Passo 4

Portanto
l(Q1Q2r)^Tl(Q1Q2r)=I,
o que mostra que Q1Q2 é de fato uma matriz ortogonal.

Resposta

Fica demonstrado que Q1Q2 é ortogonal, pois l(Q1Q2r)^T(Q1Q2)=I.

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