Se
e
são matrizes ortogonais, mostre que seu produto
também é uma matriz ortogonal. (Use
.)
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes ortogonais, isto é,
Queremos mostrar que o produto
também satisfaz a definição de ortogonalidade, ou seja,
Passo 2
Usamos a propriedade do transposto de um produto de matrizes: para quaisquer matrizes
e
compatíveis,
Aplicando isso a
, obtemos
Passo 3
Agora computamos o produto
Como
, isso simplifica para
E, por hipótese,
.
Passo 4
Portanto
o que mostra que
é de fato uma matriz ortogonal.
Resposta
Fica demonstrado que
é ortogonal, pois
.