Prove que sempre (Q Q^T)^2=Q Q^T usando Q^T Q=I. Então P=Q Q^T é a matriz de projeção no espaço coluna de Q.

Passo 1

O enunciado diz que Q é uma matriz cujas colunas são ortonormais, ou seja,
Q^TQ = I
Define-se
P = Q,Q^T
O objetivo é mostrar que
P^2 = P,
isto é, l(QQ^Tr)^2 = QQ^T, o que caracteriza P como matriz de projeção (ortogonal) no espaço coluna de Q.

Passo 2

Calculemos P^2=l(QQ^Tr)l(QQ^Tr). Usando a associatividade do produto de matrizes, temos
l(QQ^Tr)l(QQ^Tr) = Q,l(Q^TQr),Q^T

Passo 3

Como Q^TQ = I, segue
Q,(Q^TQ),Q^T = Q,I,Q^T = Q,Q^T
Portanto
l(QQ^Tr)^2 = QQ^T,
isto é, P^2=P.

Passo 4

Uma matriz P que satisfaz P^2=P é chamada de matriz de projeção. Além disso,
P^T = (QQ^T)^T = Q,Q^T = P,
logo P é simétrica e idempotente, o que implica que ela é a projeção ortogonal no espaço coluna de Q.

Resposta

P = QQ^T é idempotente ( P^2=P) e simétrica, portanto é a matriz de projeção ortogonal no espaço coluna de Q.

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