Prove que sempre
usando
. Então
é a matriz de projeção no espaço coluna de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz cujas colunas são ortonormais, ou seja,
Define-se
O objetivo é mostrar que
isto é,
, o que caracteriza
como matriz de projeção (ortogonal) no espaço coluna de
.
Passo 2
Calculemos
. Usando a associatividade do produto de matrizes, temos
Passo 3
Como
, segue
Portanto
isto é,
.
Passo 4
Uma matriz
que satisfaz
é chamada de matriz de projeção. Além disso,
logo
é simétrica e idempotente, o que implica que ela é a projeção ortogonal no espaço coluna de
.