Qual múltiplo de a=(4,5,2,2) está mais próximo de b=(1,2,0,0)? Encontre vetores ortonormais q1 e q2 no plano de a e b.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Qual múltiplo de a=(4,5,2,2) fica mais próximo de b=(1,2,0,0)?
  2. Encontrar uma base ortonormal q1,q2 do plano gerado por a e b.
    O conteúdo envolve projeção de vetores (mínimos quadrados) e o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.

Passo 2

Para achar o múltiplo de a mais próximo de b calculamos a projeção de b sobre a. O coeficiente é
k = acdotbacdota = 4cdot1 + 5cdot2 + 2cdot0 + 2cdot04^2 + 5^2 + 2^2 + 2^2 = 4 + 1016 + 25 + 4 + 4 = 1449 = 27
Portanto o múltiplo buscado é
k,a = 27(4,5,2,2) = l(tfrac87,,tfrac107,,tfrac47,,tfrac47r)

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt em a e b. Primeiro normalizamos a:
|a| = raiz16 + 25 + 4 + 4 = 7,
q1 = a|a| = l(tfrac47,,tfrac57,,tfrac27,,tfrac27r)

Passo 4

Em seguida subtraímos de b a componente na direção de q1:
w2 = b - (q1cdotb),q1, q1cdotb = 4cdot1 + 5cdot27 = 147 = 2,
w2 = (1,2,0,0) - 2l(tfrac47,tfrac57,tfrac27,tfrac27r) = l(-tfrac17,,tfrac47,,-tfrac47,,-tfrac47r)
Como |w2|=1, basta definir
q2 = w2 = l(-tfrac17,,tfrac47,,-tfrac47,,-tfrac47r)

Resposta

O múltiplo de a mais próximo de b é
27,a = l(tfrac87,,tfrac107,,tfrac47,,tfrac47r)
Uma base ortonormal do plano de a e b é
q1 = l(tfrac47,,tfrac57,,tfrac27,,tfrac27r), q2 = l(-tfrac17,,tfrac47,,-tfrac47,,-tfrac47r)

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