Dê um exemplo de cada um dos seguintes:
Dois vetores ortogonais que não são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede um par de vetores ortogonais que, apesar de terem produto interno zero, sejam linearmente dependentes. Vamos usar as definições:
  • Dois vetores v e w são ortogonais se lang<= v,wrang<==0.
  • Dois vetores são linearmente dependentes se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Em R^n, quaisquer dois vetores não nulos e ortogonais são sempre independentes. Logo, para que sejam dependentes precisamos que pelo menos um seja o vetor zero, pois o vetor zero é ortogonal a qualquer vetor e, ao mesmo tempo, resulta em dependência linear.

Passo 3

Escolhendo em R^2
v = (1,2), w = (0,0),
temos
lang<= v,wrang<= = 1cdot0 + 2cdot0 = 0,
portanto são ortogonais, e além disso
w = 0cdot v,
logo são linearmente dependentes.

Resposta

Um exemplo é
v = (1,2), w = (0,0)

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