Dê um exemplo de cada um dos seguintes:
Dois vetores ortogonais que não são linearmente independentes.
Dois vetores ortogonais que não são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede um par de vetores ortogonais que, apesar de terem produto interno zero, sejam linearmente dependentes. Vamos usar as definições:
- Dois vetores
e são ortogonais se . - Dois vetores são linearmente dependentes se um é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Em
, quaisquer dois vetores não nulos e ortogonais são sempre independentes. Logo, para que sejam dependentes precisamos que pelo menos um seja o vetor zero, pois o vetor zero é ortogonal a qualquer vetor e, ao mesmo tempo, resulta em dependência linear.
Passo 3
Escolhendo em
temos
portanto são ortogonais, e além disso
logo são linearmente dependentes.
Resposta
Um exemplo é