Se a1, a2, a3 é uma base para R^3, qualquer vetor b pode ser escrito como
b=x1 a1+x2 a2+x3 a3 ou [lll a1 & a2 & a3 ][l x1 x2 x3 ]=b
Suponha que os as sejam ortonormais. Mostre que x1=a1^T b.

Passo 1

O enunciado diz que a1,a2,a3 é uma base ortonormal de R^3, então qualquer b se expressa como
b = x1a1 + x2a2 + x3a3
O conteúdo aqui é usar o produto interno para extrair a coordenada x1.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da expressão por a1^T à esquerda:
a1^Tb = a1^Tl(x1a1 + x2a2 + x3a3r)

Passo 3

Pela ortonormalidade vale a1^Ta1=1 e a1^Tak=0 para k=2,3. Logo,
a1^Tb = x1,a1^Ta1 + x2,a1^Ta2 + x3,a1^Ta3 = x1cdot1 + x2cdot0 + x3cdot0 = x1

Resposta

x1 = a1^Tb

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