Vetores ortonormais são automaticamente linearmente independentes.
Prova matricial: Mostre que
leva a
. Como
pode ser retangular, você pode usar
mas não
.
Prova matricial: Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz cujas colunas são vetores ortonormais em
, então a equação
implica necessariamente
. O conteúdo aqui é independente linear de conjuntos ortonormais. Vamos usar a propriedade fundamental de matrizes ortonormais de colunas:
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 2
Suponha que
Esse é o ponto de partida para demonstrar que a única solução é o vetor nulo.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
à esquerda, aproveitando que
existe mesmo quando
é retangular:
Passo 4
Como as colunas de
são ortonormais, temos
. Logo,
Isso mostra que a única combinação linear de colunas de
que dá o vetor nulo é a combinação trivial.
Resposta
Ficou demonstrado que
leva a
, ou seja, as colunas ortonormais de
são linearmente independentes.