Vetores ortonormais são automaticamente linearmente independentes.
Prova matricial: Mostre que Q x=0 leva a x=0. Como Q pode ser retangular, você pode usar Q^T mas não Q^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se Q é uma matriz cujas colunas são vetores ortonormais em R^m, então a equação
Qx = 0
implica necessariamente x=0. O conteúdo aqui é independente linear de conjuntos ortonormais. Vamos usar a propriedade fundamental de matrizes ortonormais de colunas:
Q^T Q = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 2

Suponha que
Qx = 0
Esse é o ponto de partida para demonstrar que a única solução é o vetor nulo.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por Q^T à esquerda, aproveitando que Q^T existe mesmo quando Q é retangular:
Q^Tl(Qxr) ;=; Q^T0 Longrightarrow l(Q^T Qr)x = 0

Passo 4

Como as colunas de Q são ortonormais, temos Q^T Q = In. Logo,
In,x = 0 Longrightarrow x = 0
Isso mostra que a única combinação linear de colunas de Q que dá o vetor nulo é a combinação trivial.

Resposta

Ficou demonstrado que Qx=0 leva a x=0, ou seja, as colunas ortonormais de Q são linearmente independentes.

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