Com base na questão 1 , encontre a expressão da força central de uma partícula se movendo em uma órbita dada por
r(theta)=k e^alpha theta
onde k e alpha são constantes positivas. [Sugestão: Utilize a equação da órbita somente para a derivada, e deixe a expressão em termos de r ].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo sob uma força central e sua órbita é dada em coordenadas polares por
r(theta)=k,e^alphatheta,
onde F(r) ;=;-m,h^2,u^2l(u''+ur), e são constantes positivas.
Conteúdo: usaremos a Fórmula de Binet (que relaciona a forma da órbita com a força central ).
O que precisamos:
1. Expressar .
2. Calcular e .
3. Aplicar a Fórmula de Binet:

onde é a massa e é o momento angular por unidade de massa ( , constante).

Passo 2

Primeiro, definimos
u(theta)=1r(theta) =1k,e^alphatheta =1k,e^-alphatheta
Isso já monta o caminho pra usar Binet.

Passo 3

Agora derivamos u'(theta)=ddthetal(tfrac1k e^-alphathetar) =-alpha,1k e^-alphatheta =-alpha,u(theta) em relação a u''(theta)=ddthetal(-alpha,u(theta)r) =-alpha,u'(theta) =-alphal(-alpha,u(theta)r) =alpha^2,u(theta) :
E de novo pra achar :

Passo 4

Na Fórmula de Binet substituímos F(r) = -m,h^2,u^2l(u''+ur) = -m,h^2,u^2;(alpha^2+1),u = -m,h^2,(alpha^2+1),u^3 , e lembramos que . Então
Como , temos .

Resposta

boxedF(r) = -,m,h^2,(alpha^2+1),1r^3
Pronto! A força central necessária para manter é proporcional a , com essa constante na frente.

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