Com base nas suas respostas até agora, você diria que A, B, C e D são independentes entre si? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se as variáveis $ A, B, C $ e $ D $ são independentes entre si. Isso faz parte do conteúdo de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre a independência de eventos ou variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa independência e como verificar se várias variáveis são independentes umas das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência entre duas variáveis. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a ocorrência de uma não afeta a ocorrência da outra. Em termos matemáticos, isso significa que a probabilidade conjunta delas é igual ao produto das probabilidades individuais:
X

Passo 3

Agora, quando temos mais de duas variáveis, como $ A, B, C $ e $ D $, precisamos verificar a independência de todas as combinações possíveis. Ou seja, cada par de variáveis deve ser independente, e isso também se estende a combinações de três e quatro variáveis juntas.

Passo 4

Para verificar a independência das quatro variáveis, precisamos confirmar que:
  1. $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $
  2. $ P(A \cap C) = P(A) \times P© $
  3. $ P(A \cap D) = P(A) \times P(D) $
  4. $ P(B \cap C) = P(B) \times P© $
  5. $ P(B \cap D) = P(B) \times P(D) $
  6. $ P(C \cap D) = P© \times P(D) $
E também verificar que:
  1. $ P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P© $
  2. $ P(A \cap B \cap D) = P(A) \times P(B) \times P(D) $
  3. $ P(A \cap C \cap D) = P(A) \times P© \times P(D) $
  4. $ P(B \cap C \cap D) = P(B) \times P© \times P(D) $
E por fim:
  1. $ P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A) \times P(B) \times P© \times P(D) $

Passo 5

Se todas essas igualdades forem verdadeiras, então podemos afirmar que as variáveis $ A, B, C $ e $ D $ são independentes entre si. Caso alguma dessas igualdades não seja satisfeita, isso indica que há dependência entre pelo menos algumas das variáveis.

Passo 6

Vamos supor que você já tenha calculado ou te dado as probabilidades individuais e conjuntas dessas variáveis. O próximo passo é verificar cada uma das igualdades listadas no Passo 4 usando esses valores.

Resposta

Então, com base nas probabilidades que você possui, verifique todas as igualdades mencionadas. Se todas estiverem corretas, podemos concluir que $ A, B, C $ e $ D $ são independentes entre si. Caso contrário, elas não são independentes.

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