Na Mega Sena, 6 números são selecionados aleatoriamente dentre um total de 60 (isto é, de 1 a 60), sem reposição. Esboce o espaço amostral Omega correspondente a esse problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Mega Sena, onde a gente escolhe 6 números entre 1 e 60, sem repetir nenhum. O assunto aqui é espaço amostral em probabilidade. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular todas as combinações possíveis desses números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é espaço amostral. Basicamente, é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. No caso da Mega Sena, cada resultado é uma combinação de 6 números diferentes entre 1 e 60.

Passo 3

Como os números são escolhidos sem reposição e a ordem não importa, estamos lidando com combinações. Combinação é uma forma de selecionar itens onde a ordem não importa. A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens disponíveis (neste caso, 60),
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos (neste caso, 6),
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula das combinações para calcular quantas maneiras diferentes podemos escolher 6 números entre 60:
C(60, 6) = 60!6!(60 - 6)! = 60!6! times 54!

Passo 5

Embora calcular esse valor manualmente seja trabalhoso, com a ajuda de uma calculadora ou software, descobrimos que:
C(60, 6) = 50.063.860
Isso significa que há 50.063.860 combinações possíveis de 6 números na Mega Sena.

Resposta

O espaço amostral $ \Omega $ da Mega Sena é o conjunto de todas as 50.063.860 combinações possíveis de 6 números escolhidos entre 1 e 60, sem repetição e sem considerar a ordem.

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