Com base nas suas respostas até agora, você diria que A, B e C são independentes entre si? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Com base nas suas respostas até agora, você diria que A, B e C são independentes entre si? Justifique.” O conteúdo aqui é sobre independência em probabilidade. Para resolver isso, precisamos entender o que significa eventos ou variáveis serem independentes e como verificar isso usando probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência. Dois eventos, digamos A e B, são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Para três eventos A, B e C, eles são considerados independentes entre si se todas as combinações de dois eventos e a combinação dos três satisfazem essa condição. Ou seja:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
P(A cap C) = P(A) times P(C)
P(B cap C) = P(B) times P(C)
P(A cap B cap C) = P(A) times P(B) times P(C)

Passo 3

Agora, vamos verificar cada uma dessas condições. Primeiro, calculamos P(A), P(B) e P(C) individualmente. Depois, calculamos as probabilidades das interseções P(A cap B), P(A cap C) e P(B cap C). Finalmente, calculamos a interseção dos três P(A cap B cap C).

Passo 4

Com esses valores em mãos, comparamos se cada interseção é igual ao produto das probabilidades individuais. Se todas as igualdades forem verdadeiras, então A, B e C são independentes entre si. Caso contrário, eles são dependentes.
Por exemplo, se P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(C) = 0.3, e P(A cap B) = 0.2, verificamos:
0.2 stackrel?= 0.5 times 0.4 = 0.2 (Verdadeiro)
Façamos isso para todas as combinações.

Resposta

Após verificar todas as condições de independência, se todas as igualdades forem satisfeitas, podemos concluir que A, B e C são independentes entre si. Caso alguma condição não seja atendida, então eles são dependentes.

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