Defina agora A=[ não ocorre nenhuma coroa até o n-ésimo lançamento], Kn+1=[ coroa no (n+1)-ésimo lançamento] e calcule P(A cap Kn+1) (Dica: note que A=capk=1^n Ck, que A Perp Kn+1 e utilize o resultado do item a.).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de probabilidade que fala sobre lançar uma moeda várias vezes. O objetivo é encontrar a probabilidade de não sair “coroa” nos primeiros n lançamentos e, depois, sair “coroa” no (n+1)-ésimo lançamento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre eventos independentes e como calcular probabilidades conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os eventos que temos:
  • A: Não ocorre nenhuma coroa até o n-ésimo lançamento. Isso significa que nos primeiros n lançamentos, sempre sai “cara”.
  • Kn+1: Sai coroa no (n+1)-ésimo lançamento.
A interseção A cap Kn+1 representa o cenário onde conseguimos somente caras nos primeiros n lançamentos e, depois, uma coroa no lançamento seguinte.

Passo 3

Sabemos que A pode ser escrito como a interseção de eventos individuais onde não sai coroa em cada lançamento. Então,
A = capk=1^n Ck
onde Ck é o evento de não sair coroa no k-ésimo lançamento.

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que se dois eventos são independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais. No caso, o problema nos diz que A e Kn+1 são independentes, ou seja,
P(A cap Kn+1) = P(A) times P(Kn+1)

Passo 5

Vamos calcular P(A) primeiro. Como cada lançamento é independente e a probabilidade de sair cara em um lançamento de moeda justa é 12, temos:
P(A) = (12)^n
Isso porque precisamos de “cara” em cada um dos n lançamentos.

Passo 6

Depois, calculamos P(Kn+1). A probabilidade de sair coroa em um lançamento é também 12. Então,
P(Kn+1) = 12

Passo 7

Agora, multiplicamos as duas probabilidades para encontrar P(A cap Kn+1):
P(A cap Kn+1) = (12)^n times 12 = (12)^n+1

Resposta

A probabilidade de não ocorrer nenhuma coroa até o n-ésimo lançamento e ocorrer coroa no (n+1)-ésimo lançamento é (12)^n+1.

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