Defina agora
não ocorre nenhuma coroa até o
-ésimo lançamento],
coroa no
-ésimo lançamento] e calcule
(Dica: note que
, que
e utilize o resultado do item a.).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de probabilidade que fala sobre lançar uma moeda várias vezes. O objetivo é encontrar a probabilidade de não sair “coroa” nos primeiros
lançamentos e, depois, sair “coroa” no
-ésimo lançamento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre eventos independentes e como calcular probabilidades conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os eventos que temos:
-
: Não ocorre nenhuma coroa até o -ésimo lançamento. Isso significa que nos primeiros lançamentos, sempre sai “cara”. -
: Sai coroa no -ésimo lançamento.
A interseção
representa o cenário onde conseguimos somente caras nos primeiros
lançamentos e, depois, uma coroa no lançamento seguinte.
Passo 3
Sabemos que
pode ser escrito como a interseção de eventos individuais onde não sai coroa em cada lançamento. Então,
onde
é o evento de não sair coroa no
-ésimo lançamento.
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que se dois eventos são independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais. No caso, o problema nos diz que
e
são independentes, ou seja,
Passo 5
Vamos calcular
primeiro. Como cada lançamento é independente e a probabilidade de sair cara em um lançamento de moeda justa é
, temos:
Isso porque precisamos de “cara” em cada um dos
lançamentos.
Passo 6
Depois, calculamos
. A probabilidade de sair coroa em um lançamento é também
. Então,
Passo 7
Agora, multiplicamos as duas probabilidades para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de não ocorrer nenhuma coroa até o
-ésimo lançamento e ocorrer coroa no
-ésimo lançamento é
.