Calcular os limites:
lim x -1 raiz3 x^2+4 x+2-1raizx^2+3 x+6-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto-1raiz3x^2+4x+2-1raizx^2+3x+6-2
Isso é um caso de forma indeterminada tfrac00, pois substituindo x=-1 obtemos raiz1-1=0 no numerador e raiz4-2=0 no denominador. Para resolver, vamos usar racionalização (conjugado) e depois fatorar para cancelar o fator que anula o denominador.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizx^2+3x+6+2. Assim
raiz3x^2+4x+2-1raizx^2+3x+6-2 ;times; raizx^2+3x+6+2raizx^2+3x+6+2 = l(raiz3x^2+4x+2-1r),l(raizx^2+3x+6+2r)(x^2+3x+6)-4

Passo 3

No denominador aparece
(x^2+3x+6)-4 = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)
Portanto
l(raiz3x^2+4x+2-1r),l(raizx^2+3x+6+2r)(x+1)(x+2)

Passo 4

Observe que raiz3x^2+4x+2-1 também se anula em x=-1, logo ela deve conter o fator (x+1). De fato, expandindo em série ou usando a identidade
raizA-1 = A-1raizA+1,
com A=3x^2+4x+2, nota-se que A-1=3x^2+4x+1=(x+1)(3x+1). Assim cancelamos (x+1) e obtemos
(3x+1),(raizx^2+3x+6+2)2,(x+2)

Passo 5

Agora basta substituir x=-1:
3(-1)+1 = -2, raiz(-1)^2+3(-1)+6+2 = raiz4+2 = 4, x+2 = 1
Logo o limite vale
(-2)cdot 42cdot 1 = -82 = -4

Resposta

-4

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