A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
f(x)=ln (1+x)-xx

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=ln(1+x)-xx. Vamos usar a série já conhecida de ln(1+x) e suas propriedades para chegar ao resultado sem recorrer à definição de derivadas.

Passo 2

A série de Maclaurin de ln(1+x) para |x|<1 é
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn=x-x^22+x^33-x^44+cdots

Passo 3

Subtraindo x dessa série (pois no numerador temos ln(1+x)-x) obtemos
ln(1+x)-x=l(x-x^22+x^33-cdotsr)-x=-x^22+x^33-x^44+cdots

Passo 4

Agora dividimos esse resultado por x:
ln(1+x)-xx=-x2+x^23-x^34+cdots

Passo 5

Para escrever num somatório com índice iniciando em 1, notamos que o termo geral para x^n é (-1)^n/(n+1). Assim
f(x)=sumn=1^infty(-1)^nx^nn+1,|x|<1

Resposta

f(x)= -x2+x^23-x^34+cdots=sumn=1^infty(-1)^nx^nn+1,;|x|<1

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