A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
f(x)=x cos x-sen xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{3}} $ sem usar a definição da série. Para isso, vamos lembrar das séries de Maclaurin das funções trigonométricas que já conhecemos e usar as propriedades delas para montar a série de $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das séries de Maclaurin para $ \cos x $ e $ \sin x $:
cos x
sin x
Essas séries nos permitem expressar $ \cos x $ e $ \sin x $ como somas infinitas de potências de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ x \cos x $ multiplicando a série de $ \cos x $ por $ x $:
x cos x

Passo 4

Em seguida, já temos a série para $ \sin x $:
sin x
Agora, vamos subtrair essa série da série de $ x \cos x $:
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 5

Vamos unificar os termos das duas séries:
x cos x - sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1 ( 1(2n)! - 1(2n+1)! )
Fatoramos $ (-1)^n x^{2n+1} $ para simplificar a expressão.

Passo 6

Simplificamos a diferença dos termos:
1(2n)! - 1(2n+1)! = 1(2n)!(1 - 12n+1) = 2n(2n+1)!
Então, temos:
x cos x - sin x = sumn=0^infty (-1)^n 2n x^2n+1(2n+1)!

Passo 7

Agora, vamos dividir toda a expressão por $ x^{3} $ para obter $ f(x) $:
x^3

Resposta

A série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{3}} $ é:
f(x) = x cos x - sin xx^3

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