A) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais discutidas em sala de aula, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo, sem usar a definição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{3}} $ sem usar a definição da série. Para isso, vamos lembrar das séries de Maclaurin das funções trigonométricas que já conhecemos e usar as propriedades delas para montar a série de $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das séries de Maclaurin para $ \cos x $ e $ \sin x $:
Essas séries nos permitem expressar $ \cos x $ e $ \sin x $ como somas infinitas de potências de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ x \cos x $ multiplicando a série de $ \cos x $ por $ x $:
Passo 4
Em seguida, já temos a série para $ \sin x $:
Agora, vamos subtrair essa série da série de $ x \cos x $:
Passo 5
Vamos unificar os termos das duas séries:
Fatoramos $ (-1)^n x^{2n+1} $ para simplificar a expressão.
Passo 6
Simplificamos a diferença dos termos:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos dividir toda a expressão por $ x^{3} $ para obter $ f(x) $:
Resposta
A série de Maclaurin da função $ f(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{3}} $ é: