A base do sólido é o disco x^2+y^2 <= 1. As seções transversais por planos perpendiculares ao eixo x entre x=-1 e x=1 são triângulos equiláteros.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido cuja base é o disco (x,y)mid x^2+y^2<=1 e cujas seções transversais por planos perpendiculares ao eixo x (entre x=-1 e x=1) são triângulos equiláteros. Para encontrar o volume, vamos usar o método de seções transversais:
o volume é dado por
V=integrala^bA(x),dx,
onde A(x) é a área da seção perpendicular ao eixo x em cada posição x.

Passo 2

Em um plano fixo x, a seção do disco é o segmento de reta em y que vai de y=-raiz1-x^2 a y=+raiz1-x^2. Esse segmento é a base do triângulo equilátero de lado
s(x)=2raiz1-x^2

Passo 3

A área de um triângulo equilátero de lado s é
Atriang<=(s)=s^2raiz34
Substituindo s(x) vem
A(x) =l(2raiz1-x^2r)^2raiz34 =4(1-x^2)raiz34 =raiz3,(1-x^2)

Passo 4

Portanto o volume do sólido é
V=integral-1^1A(x),dx =raiz3integral-1^1(1-x^2),dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral(1-x^2),dx =x-x^33,
avaliando de -1 a 1:
integral-1^1(1-x^2),dx =l[x-x^33r]-1^1 =l(1-13r)-l(-1+13r) =23-l(-tfrac23r) =43
Multiplicando por raiz3 obtemos
V=raiz3cdot43 =4raiz33

Resposta

V=4raiz33

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