Use a Definição 7.1.1 para determinar mathcalLf(t).
f(t)=t^2 e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^2e^-2t usando a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aqui vamos usar integração por partes para avaliar esse integral impropriamente convergente quando Re(s)>-2.

Passo 2

Substituindo f(t) na definição, obtemos
Lt^2e^-2t(s) =integral0^inftye^-stl(t^2e^-2tr),dt =integral0^inftyt^2e^-(s+2)t,dt
Para convergência precisamos de Re(s+2)>0, isto é, Re(s)>-2.

Passo 3

Aplicamos integração por partes à integral
I=integral0^inftyt^2e^-(s+2)t,dt
Escolhemos u=t^2 e dv=e^-(s+2)tdt, então du=2t,dt e v=-tfrac1s+2e^-(s+2)t. Assim,
I=l[u,vr]0^infty-integral0^inftyv,du =0-l(-tfrac1s+2r)integral0^infty2t,e^-(s+2)t,dt =2s+2integral0^inftyt,e^-(s+2)t,dt

Passo 4

Para J=integral0^inftyt,e^-(s+2)t,dt aplicamos integração por partes de novo: u=t, dv=e^-(s+2)tdt, logo du=dt, v=-tfrac1s+2e^-(s+2)t. Temos
J=l[u,vr]0^infty-integral0^inftyv,du =0-l(-tfrac1s+2r)integral0^infty1cdot e^-(s+2)t,dt =1s+2integral0^inftye^-(s+2)t,dt

Passo 5

O integral básico é
integral0^inftye^-(s+2)t,dt =l[-tfrac1s+2e^-(s+2)tr]0^infty =1s+2
Logo
J=1s+2cdot1s+2=1(s+2)^2, I=2s+2,J=2s+2cdot1(s+2)^2 =2(s+2)^3

Resposta

Lt^2e^-2t(s)=2(s+2)^3, Re(s)>-2

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