1. Encontre a solução do problema de condução do calor
l ux x=ut ; u(0, t)=0, u(40, t)=0 ; u(x, 0)= x ; & 0 <= x<20 40-x ; & 20 <= x <= 40

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
ut=uxx
em uma barra de comprimento L=40 com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0, u(40,t)=0
e condição inicial triangular
u(x,0)= x, & 0<= x<20, 40-x, & 20<= x<= 40
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos (superposição de modos normais).

Passo 2

Pela homogeneidade das contornas, buscamos
u(x,t) =sumn=1^inftybn,e^-l(npi40r)^2t, sin!l(npi x40r)
Aqui cada modo sin(npi x/40) satisfaz as contornas, e os coeficientes bn vêm da expansão da condição inicial.

Passo 3

A fórmula dos coeficientes da série de senos é
bn =2L integral0^Lu(x,0),sin!l(npi xLr),dx com L=40
Como u(x,0) é peçawise, dividimos a integral em 0<= x<20 e 20<= x<=40.

Passo 4

Defina alphan=npi40. Então
bn =240 l[ underbraceintegral0^20xsin(alphanx),dxI1 +underbraceintegral20^40(40-x)sin(alphanx),dxI2 r]
Usando integração por partes em cada integral resulta
I1+I2 = 2,sin!l(alphan,20r)alphan^2 Longrightarrow bn =120cdot2,sin(npi/2)l(tfracnpi40r)^2 =160n^2pi^2, sin!l(npi2r)

Passo 5

Observando que sin(npi/2)=0 para n par e sin((2k+1)pi/2)=(-1)^k, escrevemos a solução final apenas com termos ímpares:
u(x,t) =sumk=0^infty 160(2k+1)^2,pi^2 ,(-1)^k ,exp!l[-tfrac(2k+1)^2pi^21600,tr] ,sin!l(tfrac(2k+1)pi x40r)

Resposta

u(x,t) =sumk=0^infty 160,(-1)^k(2k+1)^2,pi^2 exp!l[-tfrac(2k+1)^2pi^21600,tr] sin!l(tfrac(2k+1)pi x40r)

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