Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
4. Mostre por indução matemática que
.
4. Mostre por indução matemática que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partes para resolver:
- Calcular o limite da sequência
. - Mostrar por indução matemática que
para todo natural.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e o método de indução matemática.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite da sequência
.
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite.
Passo 3
Observamos que
. Agora, vamos simplificar a fração dentro da raiz.
Passo 4
Simplificando
, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito.
Passo 6
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: mostrar que
para todo
usando indução matemática.
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática.
Passo 8
Indução Matemática é um método de prova que consiste em dois passos:
- Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (geralmente
). - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e então mostrar que, sob essa suposição, a afirmação também é verdadeira para .
Passo 9
Base da Indução:
Vamos verificar para :
Vamos verificar para
Isso é verdadeiro.
Passo 10
Passo Indutivo:
Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
Essa é nossa hipótese de indução.
Passo 11
Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja:
Passo 12
Sabemos que
. Então, queremos provar que:
Ou seja:
Passo 13
Usando a hipótese de indução
, podemos escrever:
Mas precisamos relacionar
com
.
Passo 14
Sabemos que
. Como
para
, então:
Passo 15
Portanto, combinando as desigualdades:
Logo,
O que completa o passo indutivo.
Passo 16
Como a base da indução e o passo indutivo foram comprovados, por indução matemática, a afirmação
é verdadeira para todo
.
Resposta
- O limite
. - Por indução matemática, mostramos que
para todo número natural .