Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty raizn+2raizn
4. Mostre por indução matemática que n<2^n, forall n in N.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partes para resolver:
  1. Calcular o limite da sequência .
  2. Mostrar por indução matemática que para todo natural.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e o método de indução matemática.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da sequência .
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite.

Passo 3

Observamos que . Agora, vamos simplificar a fração dentro da raiz.

Passo 4

Simplificando n+2n = 1 + 2n , temos:
raiz1 + 2n
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty raiz1 + 2n tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito.

Passo 6

Portanto:
raiz1 + 0 = raiz1 = 1

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: mostrar que para todo usando indução matemática.
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática.

Passo 8

Indução Matemática é um método de prova que consiste em dois passos:
  1. Base da Indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência (geralmente ).
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e então mostrar que, sob essa suposição, a afirmação também é verdadeira para .

Passo 9

Base da Indução:
Vamos verificar para 1 < 2^1 Rightarrow 1 < 2 :
Isso é verdadeiro.

Passo 10

Passo Indutivo:
Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum k < 2^k , ou seja:
Essa é nossa hipótese de indução.

Passo 11

Agora, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para k+1 < 2^k+1 , ou seja:

Passo 12

Sabemos que k + 1 < 2 cdot 2^k . Então, queremos provar que:
k + 1 < 2^k+1
Ou seja:

Passo 13

Usando a hipótese de indução k + 1 < 2^k + 1 , podemos escrever:
Mas precisamos relacionar com .

Passo 14

Sabemos que 2^k + 1 < 2^k + 2^k = 2 cdot 2^k = 2^k+1 . Como para , então:

Passo 15

Portanto, combinando as desigualdades:
k + 1 < 2^k + 1 < 2^k+1
Logo,
k + 1 < 2^k+1
O que completa o passo indutivo.

Passo 16

Como a base da indução e o passo indutivo foram comprovados, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

  1. O limite .
  2. Por indução matemática, mostramos que para todo número natural .

Exercícios relacionados