A base de um sólido é a região do plano x y delimitada pelo disco x^2+y^2 <= a^2, com a>0. e a parte superior é a superfície do parabolóide a z=x^2+y^2. Calcule o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja base é o disco x^2+y^2<= a^2 no plano xy e cuja face superior é o parabolóide definido por a z = x^2 + y^2. Vamos usar integração dupla em coordenadas polares para determinar esse volume.

Passo 2

Para sólidos com altura z=f(x,y) sobre uma região D no plano, o volume é dado por
V = integral duplaD f(x,y),dA
Aqui temos f(x,y)=x^2+y^2a, logo
V = integral duplax^2+y^2<= a^2 x^2+y^2a,dx,dy

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com 0<= r<= a, 0<=theta<2pi e e o volume:
dx,dy = r,dr,dtheta O integrando fica (r^2a

Passo 4

Agora calculamos as integrais separadamente. Primeiro em r:
integral0^a r^3,dr = l[tfracr^44r]0^a = a^44
Em seguida em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Substituindo de volta:
V = 1a cdot 2pi cdot a^44 = 2pi a^44a = pi a^32

Passo 5

Através desses passos, chegamos ao valor do volume do sólido pedido.

Resposta

V = pi a^32

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