Seja dada a integral dupla
Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma só integral na qual a ordem de integração esteja invertida.
Passo 1
Temos a integral dupla
dada como a soma de duas integrais iteradas em
: para
,
, e para
,
. Vamos inverter a ordem de integração.
Passo 2
Descrito o domínio
:
[
D={(x,y):0\le x\le1,;0\le y\le x};\cup;{(x,y):1\le x\le\sqrt2,;0\le y\le\sqrt{2-x^2}}.
D={(x,y):0\le x\le1,;0\le y\le x};\cup;{(x,y):1\le x\le\sqrt2,;0\le y\le\sqrt{2-x^2}}.
Passo 3
Projetando
no eixo
, vemos que o menor valor de
é 0 e o maior ocorre na interseção da reta
com o círculo
, que é
. Logo
.
Passo 4
Para cada
, os valores de
em
vão do ponto na reta
até o ponto no círculo
, ou seja, de
a
.
Passo 5
Portanto, a integral com ordem invertida fica: