Seja dada a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x+integral1^raiz2 integral0^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x
Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma só integral na qual a ordem de integração esteja invertida.

Passo 1

Temos a integral dupla integral duplaD f(x,y),dx,dy dada como a soma de duas integrais iteradas em x: para 0<= x<=1, 0<= y<= x, e para 1<= x<=raiz2, 0<= y<=raiz2-x^2. Vamos inverter a ordem de integração.

Passo 2

Descrito o domínio D:
[
D={(x,y):0\le x\le1,;0\le y\le x};\cup;{(x,y):1\le x\le\sqrt2,;0\le y\le\sqrt{2-x^2}}.

Passo 3

Projetando D no eixo y, vemos que o menor valor de y é 0 e o maior ocorre na interseção da reta y=x com o círculo x^2+y^2=2, que é y=1. Logo yin[0,1].

Passo 4

Para cada yin[0,1], os valores de x em D vão do ponto na reta x=y até o ponto no círculo x^2+y^2=2, ou seja, de x=y a x=raiz2-y^2.

Passo 5

Portanto, a integral com ordem invertida fica:
integraly=0^1integralx=y^raiz2-y^2f(x,y),dx,dy

Resposta

integraly=0^1integralx=y^raiz2-y^2f(x,y),dx,dy

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