Uma base para o subespaço vetorial W=(x+y, x-y, z) ; x, y, z in R subset R^3 é:
a) beta=(1,1,0),(1-1,0),(0,0,1)
b) beta=(1,1,1),(1-1,1),(2,0,2)
c) beta=(1,1,0),(1-1,1),(1,1,3),(1,1,-3)
d) beta=(1,1,0),(2,1,-1)
e) beta=(1,1,0,1),(1-1,1,2),(0,1,3,1)

Passo 1

O subespaço
W=(x+y,;x-y,;z);|;x,y,zinRsubsetR^3
é a imagem do operador linear
(x,y,z)mapsto (x+y,;x-y,;z),
cuja matriz
A=1&1&01&-1&00&0&1
tem determinante det A=-2neq0. Logo dim W=3 e W=R^3. Para dar uma base de W, basta escolher três vetores independentes no formato (x+y,x-y,z).

Passo 2

Escrevendo
(x+y,;x-y,;z)=x,(1,1,0)+y,(1,-1,0)+z,(0,0,1),
vemos imediatamente que
B0=(1,1,0),;(1,-1,0),;(0,0,1)
é um conjunto de três vetores em W e, por serem imagens das três colunas de A, são linearmente independentes e geram todo W.

Passo 3

Comparando com as alternativas, a opção (a) fornece exatamente
beta=(1,1,0),;(1,-1,0),;(0,0,1),
que coincide com B0. As demais opções ou não têm três vetores independentes em R^3 ou não estão todas em W.

Resposta

(a)

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