Passe para coordenadas polares e calcule
I=integral1^3 integral0^y 1raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=integraly=1^3integralx=0^y1raizx^2+y^2,dx,dy
usando coordenadas polares. Vamos precisar:
– Descrever a região de integração em (r,theta).
– Usar a mudança x=rcostheta, y=rsintheta com jacobiano r.
– Integrar primeiro em r e depois em theta.

Passo 2

Determinar a região em coordenadas polares.
– A linha x=0 em polares é theta=tfracpi2.
– A reta x=y é theta=tfracpi4.
– As retas y=1 e y=3 dão
rsintheta=1;Longrightarrow;r=1sintheta, rsintheta=3;Longrightarrow;r=3sintheta
Como x>=0 e x<= y, temos
thetainl[tfracpi4,tfracpi2r], rinl[1sintheta,3sinthetar]

Passo 3

Escrever a integral em polares. Como
raizx^2+y^2=r, dx,dy = r,dr,dtheta,
o integrando torna-se
1raizx^2+y^2,dx,dy = 1r,r,dr,dtheta = dr,dtheta
Logo
I =integraltheta=pi/4^pi/2integralr=1/sintheta^3/sinthetadr,dtheta

Passo 4

Integrar em r. Temos
integralr=1/sintheta^3/sinthetadr =3sintheta-1sintheta =2,csctheta
Portanto
I=2integralpi/4^pi/2csctheta,dtheta

Passo 5

Calcular . Sabemos que
Assim

Passo 6

Usar a identidade tanpi8=raiz2-1. Então
I=-2ln(raiz2-1) =2ln!l(tfrac1raiz2-1r) =2ln(raiz2+1)

Resposta

I = 2lnl(raiz2+1r)

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