A derivada de f(x)=sen xcos x,
forall x neq pi2+k pi, k in Z é dada por:
a) f^prime(x)=tg^2 x
b) f^prime(x)=sen^2 x
c) f^prime(x)=cos ^2 x
d) f^prime(x)=sec ^2 x
e) f^prime(x)=cossec^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sen xcos x para xneqpi2+kpi. O conteúdo é aplicação da regra do quociente e uso da identidade trigonométrica sen^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Identificamos u(x)=sen x e v(x)=cos x. Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)v(x)^2 =(cos x)(cos x)-(sen x)(-,sen x)cos^2x

Passo 3

No numerador temos
cos^2x + sen^2x = 1,
pela identidade fundamental.

Passo 4

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f'(x)=1cos^2x=sec^2x

Resposta

d) f'(x)=sec^2 x

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