Com base na tabela:
Ciparros sem <br> filtro | Cigarros com <br> filtro | Nào fumam | Total | |
---|---|---|---|---|
Homens | 12 | 64 | 14 | 90 |
Mulheres | 8 | 26 | 16 | 50 |
Total | 20 | 90 | 30 | 140 |
a) Testar a hipótese de que a proporção de fumantes é
, sendo
0,04 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente testar a hipótese de que a proporção de fumantes é de 80% com um nível de significância de α = 0,04. Estamos lidando com estatística de teste de proporção. Para resolver isso, vamos precisar:
- Saber como calcular a proporção observada de fumantes nos dados.
- Utilizar o teste z para proporções.
- Comparar o valor calculado com o valor crítico ou usar o p-valor para decidir se rejeitamos ou não a hipótese.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a proporção observada de fumantes na tabela. Olhando os dados:
- Total de pessoas: 140
- Total de fumantes: 20 (homens sem filtro) + 90 (homens com filtro) + 8 (mulheres sem filtro) + 26 (mulheres com filtro) = 144
Ops, parece que houve um erro na soma. Vamos verificar:
Na tabela original:
- Homens: 12 (sem filtro) + 64 (com filtro) + 14 (não fumam) = 90
- Mulheres: 8 (sem filtro) + 26 (com filtro) + 16 (não fumam) = 50
- Total geral: 20 (sem filtro) + 90 (com filtro) + 30 (não fumam) = 140
Então, total de fumantes: 20 (homens sem filtro) + 90 (homens com filtro) + 8 (mulheres sem filtro) + 26 (mulheres com filtro) = 144?
Parece que temos um total de 140, então vamos considerar os fumantes como:
Total de fumantes = Total geral - Não fumam = 140 - 30 = 110
Então, a proporção observada de fumantes é:
Passo 3
Agora, vamos formular nossas hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): A proporção de fumantes é 80%, ou seja, $ p = 0,80 $.
- Hipótese alternativa (H₁): A proporção de fumantes é diferente de 80%, ou seja, $ p \neq 0,80 $.
Esse é um teste bilateral, já que estamos verificando se a proporção é diferente de 80%, podendo ser menor ou maior.
Passo 4
Vamos usar o teste z para proporção, cuja fórmula é:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção observada.
- $ p_0 $ é a proporção sob a hipótese nula.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
- $ \hat{p} = 0,7857 $
- $ p_0 = 0,80 $
- $ n = 140 $
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, calculamos o z:
Passo 5
Com o valor de z ≈ -0,423, precisamos determinar se esse valor está dentro da região de rejeição ou não. Como nosso α = 0,04 e é um teste bilateral, dividimos o alfa para duas caudas:
Consultando a tabela z, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente -2,054 e +2,054.
Passo 6
Agora, comparamos nosso z calculado com os valores críticos:
- Se $ z < -2,054 $ ou $ z > 2,054 $, rejeitamos H₀.
- Caso contrário, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, $ z ≈ -0,423 $, que está dentro de -2,054 e +2,054.
Passo 7
Outra maneira é calcular o p-valor. Para $ z ≈ -0,423 $:
- O p-valor para um teste bilateral é $ 2 \times P(Z < -0,423) $.
- Consultando a tabela z, $ P(Z < -0,423) ≈ 0,3365 $.
- Então, p-valor ≈ $ 2 \times 0,3365 = 0,673 $.
Como 0,673 > 0,04, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de fumantes difere de 80% ao nível de significância de 4%.