Com base na tabela:
Ciparros sem <br> filtro Cigarros com <br> filtro Nào fumam Total
Homens 12 64 14 90
Mulheres 8 26 16 50
Total 20 90 30 140
a) Testar a hipótese de que a proporção de fumantes é 80 %, sendo alpha= 0,04 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente testar a hipótese de que a proporção de fumantes é de 80% com um nível de significância de α = 0,04. Estamos lidando com estatística de teste de proporção. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Saber como calcular a proporção observada de fumantes nos dados.
  • Utilizar o teste z para proporções.
  • Comparar o valor calculado com o valor crítico ou usar o p-valor para decidir se rejeitamos ou não a hipótese.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção observada de fumantes na tabela. Olhando os dados:
  • Total de pessoas: 140
  • Total de fumantes: 20 (homens sem filtro) + 90 (homens com filtro) + 8 (mulheres sem filtro) + 26 (mulheres com filtro) = 144
Ops, parece que houve um erro na soma. Vamos verificar:
Na tabela original:
  • Homens: 12 (sem filtro) + 64 (com filtro) + 14 (não fumam) = 90
  • Mulheres: 8 (sem filtro) + 26 (com filtro) + 16 (não fumam) = 50
  • Total geral: 20 (sem filtro) + 90 (com filtro) + 30 (não fumam) = 140
Então, total de fumantes: 20 (homens sem filtro) + 90 (homens com filtro) + 8 (mulheres sem filtro) + 26 (mulheres com filtro) = 144?
Parece que temos um total de 140, então vamos considerar os fumantes como:
Total de fumantes = Total geral - Não fumam = 140 - 30 = 110
Então, a proporção observada de fumantes é:
p = 110140 ≈ 0,7857 ou 78,57%

Passo 3

Agora, vamos formular nossas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de fumantes é 80%, ou seja, $ p = 0,80 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de fumantes é diferente de 80%, ou seja, $ p \neq 0,80 $.
Esse é um teste bilateral, já que estamos verificando se a proporção é diferente de 80%, podendo ser menor ou maior.

Passo 4

Vamos usar o teste z para proporção, cuja fórmula é:
z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada.
  • $ p_0 $ é a proporção sob a hipótese nula.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
Substituindo os valores:
  • $ \hat{p} = 0,7857 $
  • $ p_0 = 0,80 $
  • $ n = 140 $
Vamos calcular o denominador primeiro:
p
Agora, calculamos o z:
p0

Passo 5

Com o valor de z ≈ -0,423, precisamos determinar se esse valor está dentro da região de rejeição ou não. Como nosso α = 0,04 e é um teste bilateral, dividimos o alfa para duas caudas:
alpha/2 = 0,02 em cada cauda
Consultando a tabela z, o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente -2,054 e +2,054.

Passo 6

Agora, comparamos nosso z calculado com os valores críticos:
  • Se $ z < -2,054 $ ou $ z > 2,054 $, rejeitamos H₀.
  • Caso contrário, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, $ z ≈ -0,423 $, que está dentro de -2,054 e +2,054.

Passo 7

Outra maneira é calcular o p-valor. Para $ z ≈ -0,423 $:
  • O p-valor para um teste bilateral é $ 2 \times P(Z < -0,423) $.
  • Consultando a tabela z, $ P(Z < -0,423) ≈ 0,3365 $.
  • Então, p-valor ≈ $ 2 \times 0,3365 = 0,673 $.
Como 0,673 > 0,04, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de fumantes difere de 80% ao nível de significância de 4%.

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