Um laboratório fez oito determinaçóes da quantidade de impurezas em porcoues de certo composto. Os valores eram: 12,4; 12,0;12,6;12,0; 12,1: 12,3; 12,5; e 12,7 mg.
b) Testar a hipótese de que a variância ê 1, ao nivel de alpha=0,05 e alpha=0,10, contra H1: sigma^2<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para testarmos se a variância (σ²) das impurezas em porcoues é igual a 1 mg², usando dois níveis de significância: α = 0,05 e α = 0,10. Isso é um teste de hipótese para a variância. Vamos precisar dos dados fornecidos e entender como aplicar o teste qui-quadrado para variância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
12,4; 12,0; 12,6; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5; e 12,7 mg.
Precisamos calcular a média ( barx) desses valores, pois a variância é baseada na média.

Passo 3

Calculando a média:
barx = 12,4 + 12,0 + 12,6 + 12,0 + 12,1 + 12,3 + 12,5 + 12,78 = 988 = 12,25 mg

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A fórmula é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde n é o número de observações.

Passo 5

Calculando cada termo (xi - barx)^2:
(12,4 - 12,25)^2 = 0,0225
(12,0 - 12,25)^2 = 0,0625
(12,6 - 12,25)^2 = 0,1225
(12,0 - 12,25)^2 = 0,0625
(12,1 - 12,25)^2 = 0,0225
(12,3 - 12,25)^2 = 0,0025
(12,5 - 12,25)^2 = 0,0625
(12,7 - 12,25)^2 = 0,2025
Somando todos esses valores:
0,0225 + 0,0625 + 0,1225 + 0,0625 + 0,0225 + 0,0025 + 0,0625 + 0,2025 = 0,56

Passo 6

Agora, calculamos a variância amostral:
s^2 = 0,568 - 1 = 0,567 = 0,08 mg^2

Passo 7

Vamos agora formular as hipóteses:
H0: sigma^2 = 1
H1: sigma^2 < 1
Este é um teste unilateral à esquerda.

Passo 8

Para testar a hipótese, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2):
chi^2 = (n - 1)s^2sigma0^2
Onde sigma0^2 = 1, n = 8, e s^2 = 0,08.

Passo 9

Calculando o valor de chi^2:
chi^2 = (8 - 1) times 0,081 = 7 times 0,08 = 0,56

Passo 10

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição chi^2 para os níveis de significância alpha = 0,05 e alpha = 0,10 com df = n - 1 = 7 graus de liberdade.
Usaremos tabelas de chi^2 ou uma calculadora estatística.
Para alpha = 0,05, o valor crítico chi^20,05 com 7 graus de liberdade é aproximadamente 1,690.
Para alpha = 0,10, o valor crítico chi^20,10 com 7 graus de liberdade é aproximadamente 1,895.

Passo 11

Vamos comparar o nosso valor calculado de chi^2 = 0,56 com os valores críticos.
Se chi^2 calculado < chi^2 crítico, rejeitamos H0.

Passo 12

Para alpha = 0,05:
0,56 < 1,690 Rightarrow Rejeitamos H0
Para alpha = 0,10:
0,56 < 1,895 Rightarrow Rejeitamos H0

Resposta

Com os níveis de significância alpha = 0,05 e alpha = 0,10, rejeitamos a hipótese nula H0: sigma^2 = 1. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a variância das impurezas é menor que 1 mg².

Exercícios relacionados