Sendo: Amostra 1: n1=60 x1=5,71 sigma1^2=43
Amostra 2: n2=35 barx2=4,12 sigma2^2=28
teste H0: mu1=mu2, sendo alpha=0,04

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. Temos duas amostras:
  • Amostra 1: Tamanho $ n_1 = 60 $, média $ \vec{x}_1 = 5,71 $, variância $ \sigma_1^2 = 43 $
  • Amostra 2: Tamanho $ n_2 = 35 $, média $ \vec{x}_2 = 4,12 $, variância $ \sigma_2^2 = 28 $
O objetivo é testar se a média da primeira população é igual à média da segunda população, ou seja, testar a hipótese $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $ contra a alternativa $ H_A: \mu_1 \neq \mu_2 $ com um nível de significância $ \alpha = 0,04 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o teste de hipóteses para a diferença entre duas médias quando conhecemos as variâncias das populações. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual teste usar. Como as variâncias das populações são conhecidas ($ \sigma_1^2 $ e $ \sigma_2^2 $), podemos usar o teste z para a diferença entre duas médias.
A fórmula do teste z é:
sigma1^2
Como estamos testando $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $, a diferença $ \mu_1 - \mu_2 = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
sigma2^2

Passo 3

Vamos calcular a diferença das médias:
x1 - x2 = 5,71 - 4,12 = 1,59
Agora, vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada da soma das variâncias divididas pelo tamanho das amostras.
Primeiro, calculamos cada parte dentro da raiz:
sigma1^2n1 = 4360 approx 0,7167
sigma2^2n2 = 2835 = 0,8
Somando essas duas partes:
0,7167 + 0,8 = 1,5167
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
raiz1,5167 approx 1,2305

Passo 4

Com os valores calculados, podemos agora determinar o valor do teste z:
z = 1,591,2305 approx 1,291

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores críticos para o nível de significância $ \alpha = 0,04 $ em um teste bilateral (já que $ H_A $ é $ \mu_1 \neq \mu_2 $).
Como é bilateral, dividimos o $ \alpha $ por 2 para cada cauda:
alpha = 0,04
Consultando a tabela z, encontramos que o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente $ \pm 2,054 $.

Passo 6

Agora, comparamos o valor do nosso teste z com os valores críticos:
-2,054 < 1,291 < 2,054
Como o nosso valor z (1,291) está dentro do intervalo crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Finalmente, interpretamos o resultado:
Não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 4%.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para concluir que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 4%.

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