Sendo: Amostra 1:
Amostra 2:
teste
, sendo
Amostra 2:
teste
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. Temos duas amostras:
- Amostra 1: Tamanho $ n_1 = 60 $, média $ \vec{x}_1 = 5,71 $, variância $ \sigma_1^2 = 43 $
- Amostra 2: Tamanho $ n_2 = 35 $, média $ \vec{x}_2 = 4,12 $, variância $ \sigma_2^2 = 28 $
O objetivo é testar se a média da primeira população é igual à média da segunda população, ou seja, testar a hipótese $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $ contra a alternativa $ H_A: \mu_1 \neq \mu_2 $ com um nível de significância $ \alpha = 0,04 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o teste de hipóteses para a diferença entre duas médias quando conhecemos as variâncias das populações. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual teste usar. Como as variâncias das populações são conhecidas ($ \sigma_1^2 $ e $ \sigma_2^2 $), podemos usar o teste z para a diferença entre duas médias.
A fórmula do teste z é:
Como estamos testando $ H_0: \mu_1 = \mu_2 $, a diferença $ \mu_1 - \mu_2 = 0 $. Então, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular a diferença das médias:
Agora, vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada da soma das variâncias divididas pelo tamanho das amostras.
Primeiro, calculamos cada parte dentro da raiz:
Somando essas duas partes:
Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
Passo 4
Com os valores calculados, podemos agora determinar o valor do teste z:
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores críticos para o nível de significância $ \alpha = 0,04 $ em um teste bilateral (já que $ H_A $ é $ \mu_1 \neq \mu_2 $).
Como é bilateral, dividimos o $ \alpha $ por 2 para cada cauda:
Consultando a tabela z, encontramos que o valor crítico para $ \alpha/2 = 0,02 $ é aproximadamente $ \pm 2,054 $.
Passo 6
Agora, comparamos o valor do nosso teste z com os valores críticos:
Como o nosso valor z (1,291) está dentro do intervalo crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Finalmente, interpretamos o resultado:
Não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 4%.
Resposta
Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para concluir que as médias das duas populações são diferentes ao nível de significância de 4%.