Lança-se uma moeda 100 vezes e obtêm-se 60 caras. Teste, ao nivel 5%, a hipótese de que a moeda é honesta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma moeda foi lançada 100 vezes e saiu cara 60 vezes. O objetivo é testar, com um nível de confiança de 5%, se essa moeda é realmente honesta, ou seja, se ela não é viciada. Para isso, vamos usar o teste de hipótese, que é uma ferramenta estatística para ajudar a decidir se os resultados observados diferem do que esperaríamos se a hipótese inicial fosse verdadeira.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A moeda é honesta, ou seja, a probabilidade de sair cara é 0,5.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A moeda não é honesta, ou seja, a probabilidade de sair cara é diferente de 0,5.

Passo 3

O próximo passo é definir o nível de significância, que já está dado no problema: 5% (ou 0,05). Esse nível indica a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções e uma amostra grande (100 lançamentos), podemos usar a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial. A fórmula para o teste de proporção é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada de caras (60/100 = 0,6)
  • p0 é a proporção esperada sob H₀ (0,5)
  • n é o tamanho da amostra (100)
Substituindo os valores:
z = 0,6 - 0,5raiz0,5 times 0,5100 = 0,10,05 = 2

Passo 5

Vamos agora determinar o valor crítico para o teste. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é “diferente de”), precisamos dividir o nível de significância por 2: 0,025 em cada cauda. Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico z para 0,025 em cada extremidade é aproximadamente ±1,96.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
  • Se z > 1,96 ou z < -1,96, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se -1,96 <= z <= 1,96, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, z = 2, que é maior que 1,96. Portanto, estamos na região de rejeição.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%. Isso indica que há evidências estatísticas suficientes para concluir que a moeda não é honesta.

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