Lança-se uma moeda 100 vezes e obtêm-se 60 caras. Teste, ao nivel 5%, a hipótese de que a moeda é honesta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma moeda foi lançada 100 vezes e saiu cara 60 vezes. O objetivo é testar, com um nível de confiança de 5%, se essa moeda é realmente honesta, ou seja, se ela não é viciada. Para isso, vamos usar o teste de hipótese, que é uma ferramenta estatística para ajudar a decidir se os resultados observados diferem do que esperaríamos se a hipótese inicial fosse verdadeira.
Passo 2
Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses que vamos testar:
-
Hipótese Nula (H₀): A moeda é honesta, ou seja, a probabilidade de sair cara é 0,5.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A moeda não é honesta, ou seja, a probabilidade de sair cara é diferente de 0,5.
Passo 3
O próximo passo é definir o nível de significância, que já está dado no problema: 5% (ou 0,05). Esse nível indica a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos lidando com proporções e uma amostra grande (100 lançamentos), podemos usar a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial. A fórmula para o teste de proporção é:
Onde:
-
é a proporção observada de caras (60/100 = 0,6) -
é a proporção esperada sob H₀ (0,5) -
é o tamanho da amostra (100)
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos agora determinar o valor crítico para o teste. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é “diferente de”), precisamos dividir o nível de significância por 2: 0,025 em cada cauda. Consultando a tabela da distribuição normal, o valor crítico z para 0,025 em cada extremidade é aproximadamente ±1,96.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
- Se
ou , rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, que é maior que 1,96. Portanto, estamos na região de rejeição.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%. Isso indica que há evidências estatísticas suficientes para concluir que a moeda não é honesta.