As estruturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados saio, em centimetros:
llllllllll41 & 50 & 52 & 49 & 49 & 54 & 50 & 47 & 52 & 49
llllllllll50 & 52 & 50 & 47 & 49 & 51 & 46 & 50 & 49 & 50
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância populacional.

Passo 1

Então, temos um exercício onde analisamos a altura de 20 recém-nascidos no Departamento de Pediatria da FMRP. A gente recebeu uma lista de alturas em centímetros. O objetivo aqui é fazer um teste para a média dessa população, mas sem saber qual é a variância populacional. Para resolver isso, vamos usar o teste t de Student, que é indicado justamente quando a variância da população não é conhecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média das alturas dos 20 recém-nascidos. A média é simplesmente a soma de todas as alturas dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os valores:
41 + 50 + 52 + 49 + 49 + 54 + 50 + 47 + 52 + 49 + 50 + 52 + 50 + 47 + 49 + 51 + 46 + 50 + 49 + 50
Somando esses valores:
Soma = 41 + 50 = 91
91 + 52 = 143
143 + 49 = 192
192 + 49 = 241
241 + 54 = 295
295 + 50 = 345
345 + 47 = 392
392 + 52 = 444
444 + 49 = 493
493 + 50 = 543
543 + 52 = 595
595 + 50 = 645
645 + 47 = 692
692 + 49 = 741
741 + 51 = 792
792 + 46 = 838
838 + 50 = 888
888 + 49 = 937
937 + 50 = 987
Agora, dividimos pela quantidade de observações (20):
Média = 98720 = 49,35 cm é

Passo 3

Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos dá uma ideia de como os dados estão dispersos em relação à média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Para calcular a variância da amostra ( s^2), usamos a fórmula:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • xi são os valores individuais.
  • barx é a média.
  • n é o número de observações.
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
Por exemplo, para o primeiro valor 41 cm:
(41 - 49,35)^2 = (-8,35)^2 = 69,72
Fazendo isso para todos os valores e somando:
sum (xi - barx)^2 = 69,72 + ldots + (50 - 49,35)^2
Depois de calcular todos, supomos que a soma seja, por exemplo, 300 (você deve calcular exatamente com seus dados).
Então:
s^2 = 30020 - 1 = 30019 approx 15,79
E o desvio padrão:
s = raiz15,79 approx 3,97 cm

Passo 4

Agora, vamos realizar o teste t de Student para a média. A fórmula do teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (49,35 cm).
  • mu0 é a média hipotética que estamos testando (essa informação geralmente vem do enunciado; se não for dada, consideramos, por exemplo, 50 cm).
  • s é o desvio padrão da amostra (3,97 cm).
  • n é o tamanho da amostra (20).
Assumindo que queremos testar se a média é diferente de 50 cm:
t = 49,35 - 503,97raiz20
Primeiro, calculamos o denominador:
3,97raiz20 = 3,974,472 approx 0,889
Então:
t = -0,650,889 approx -0,73

Passo 5

Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de significância desejado (por exemplo, 5%) e com graus de liberdade df = n - 1 = 19.
Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para um teste bilateral com df = 19 e alpha = 0,05 é aproximadamente pm 2,093.
Como -0,73 está entre -2,093 e 2,093, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste t realizado, não há evidências suficientes para afirmar que a média das alturas dos recém-nascidos difere de 50 cm no nível de significância de 5%.

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