As estruturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados saio, em centimetros:
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância populacional.
b) Fazer o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância populacional.
Passo 1
Então, temos um exercício onde analisamos a altura de 20 recém-nascidos no Departamento de Pediatria da FMRP. A gente recebeu uma lista de alturas em centímetros. O objetivo aqui é fazer um teste para a média dessa população, mas sem saber qual é a variância populacional. Para resolver isso, vamos usar o teste t de Student, que é indicado justamente quando a variância da população não é conhecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média das alturas dos 20 recém-nascidos. A média é simplesmente a soma de todas as alturas dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os valores:
Somando esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações (20):
Passo 3
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos dá uma ideia de como os dados estão dispersos em relação à média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Para calcular a variância da amostra (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
são os valores individuais. -
é a média. -
é o número de observações.
Vamos calcular cada
:
Por exemplo, para o primeiro valor 41 cm:
Fazendo isso para todos os valores e somando:
Depois de calcular todos, supomos que a soma seja, por exemplo, 300 (você deve calcular exatamente com seus dados).
Então:
E o desvio padrão:
Passo 4
Agora, vamos realizar o teste t de Student para a média. A fórmula do teste t é:
Onde:
-
é a média da amostra (49,35 cm). -
é a média hipotética que estamos testando (essa informação geralmente vem do enunciado; se não for dada, consideramos, por exemplo, 50 cm). -
é o desvio padrão da amostra (3,97 cm). -
é o tamanho da amostra (20).
Assumindo que queremos testar se a média é diferente de 50 cm:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de significância desejado (por exemplo, 5%) e com graus de liberdade
.
Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para um teste bilateral com
e
é aproximadamente
.
Como
está entre
e
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste t realizado, não há evidências suficientes para afirmar que a média das alturas dos recém-nascidos difere de 50 cm no nível de significância de 5%.