A base é um triângulo equilátero de lado a=6 \mathrm{~cm} e a altura da pirâmide é h=8 \mathrm{~cm}. Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado a=6\\ \mathrm{cm} e cuja altura (da pirâmide) é h=8\\ \mathrm{cm}. A pergunta é: calcular o volume da pirâmide.
Informações dadas:
a=6\\ \mathrm{cm} (lado do triângulo equilátero da base)
h=8\\ \mathrm{cm} (altura da pirâmide)

Passo 2

Fórmula que vamos usar para o volume de uma pirâmide:
V=\frac{1}{3}\cdot (\text{área da base})\cdot (\text{altura})á
Explicando cada termo: V é o volume que queremos; “área da base” é a área do triângulo equilátero que forma a base; e h é a altura da pirâmide, medida perpendicular à base. Essa fórmula vem da comparação com um prisma que teria a mesma base e mesma altura — o volume da pirâmide é exatamente um terço do volume desse prisma.

Passo 3

Agora precisamos da área do triângulo equilátero de lado a. Para um triângulo equilátero, a fórmula clássica é
A_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Vou mostrar por que essa fórmula vale: desenhe a altura do triângulo equilátero; ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes com catetos a/2 (metade da base) e altura t. Pelo teorema de Pitágoras:
t=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
A área do triângulo é base vezes altura dividido por 2:
A_{\text{base}}=\frac{a\cdot t}{2}=\frac{a\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Calculemos a área da base com a=6\\ \mathrm{cm}:
A_{\text{base}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}.
Detalhe aritmético: 36/4=9, por isso apareceu 9\sqrt{3}.

Passo 5

Use agora a fórmula do volume com A_{\text{base}}=9\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2} e h=8\\ \mathrm{cm}:
V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 8.
Simplificando passo a passo: \frac{1}{3}\cdot 9=3, e 3\cdot 8=24. Então
V=24\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 6

Se você quiser um valor numérico aproximado, use \sqrt{3}\approx 1{,}73205. Assim
V\approx 24\cdot 1{,}73205\approx 41{,}568\\ \mathrm{cm}^{3},
ou arredondando a duas casas decimais,
V\approx 41{,}57\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

V=24\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{3}
V\approx 41{,}57\\ \mathrm{cm}^{3}

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