Uma pirâmide com base quadrada de lado
tem o eixo (reta que une o vértice ao centróide da base) com comprimento
e forma um ângulo de inclinação
com a normal à base (isto é, a direção perpendicular à base). Calcule a altura
(a componente perpendicular) e o volume da pirâmide.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
Aqui
é o lado do quadrado da base,
é o comprimento do eixo da pirâmide (reta do vértice ao centróide da base) e
é o ângulo entre esse eixo e a normal à base (a direção perpendicular à base).
Perguntas do enunciado:
- Calcular a altura
da pirâmide (a componente perpendicular ao plano da base). - Calcular o volume da pirâmide.
Passo 2
Entendendo o que é a altura
neste problema (explicação didática).
A altura de uma pirâmide é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. O enunciado nos deu o eixo da pirâmide (que liga o vértice ao centróide da base) e o ângulo entre esse eixo e a normal à base. Se imaginarmos o eixo como um vetor de comprimento que faz ângulo
com a direção da normal, então a componente desse vetor na direção da normal — que é exatamente a altura
— é a projeção de
nessa direção.
A altura de uma pirâmide é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. O enunciado nos deu o eixo da pirâmide (que liga o vértice ao centróide da base) e o ângulo entre esse eixo e a normal à base. Se imaginarmos o eixo como um vetor de comprimento
Projeção/ componente: se um segmento de comprimento
faz ângulo
com uma direção, a componente ao longo dessa direção vale
. Isso vem da definição de cosseno num triângulo retângulo: o cosseno do ângulo é a razão entre a cateto adjacente (a componente) e a hipotenusa (o comprimento
).
Passo 3
Aplicando a ideia da projeção ao nosso caso: como
é o ângulo entre o eixo e a normal, a altura é a projeção do eixo na normal. Portanto a fórmula é
Aqui
é a altura que queremos,
é o comprimento do eixo e
é o ângulo entre eixo e normal (todos já dados).
Passo 4
Calcular numericamente
. Substituindo
e
na fórmula do passo anterior:
Agora precisamos do valor numérico de
. Para ângulos que não são ângulos “especiais” (como
), usa-se calculadora científica; o valor aproximado é
. Multiplicando:
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil numa prova), obtemos
Passo 5
Fórmula do volume da pirâmide (explicação didática).
O volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base multiplicada pela altura perpendicular:
O volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base multiplicada pela altura perpendicular:
No caso da base quadrada de lado
, a área da base é
. Então:
Passo 6
Substituindo
e o valor de
(usamos o valor não arredondado para maior precisão) temos:
Usando
,
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Breve verificação mental e incentivo: faz sentido que a altura seja um pouco menor que
porque o eixo está inclinado
em relação à normal;
é próximo de
, então
fica perto de
. O volume calculado é compatível com uma base de
e altura
. Vai dar certo na prova — respira, você entendeu o raciocínio!