Uma pirâmide com base quadrada de lado a=10 \mathrm{~cm} tem o eixo (reta que une o vértice ao centróide da base) com comprimento L=15 \mathrm{~cm} e forma um ângulo de inclinação \alpha=20^{\circ} com a normal à base (isto é, a direção perpendicular à base). Calcule a altura h (a componente perpendicular) e o volume da pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
a=10\\ \mathrm{cm}
L=15\\ \mathrm{cm}
\alpha=20^\circ
Aqui a é o lado do quadrado da base, L é o comprimento do eixo da pirâmide (reta do vértice ao centróide da base) e \alpha é o ângulo entre esse eixo e a normal à base (a direção perpendicular à base).
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular a altura h da pirâmide (a componente perpendicular ao plano da base).
  2. Calcular o volume da pirâmide.

Passo 2

Entendendo o que é a altura h neste problema (explicação didática).
A altura de uma pirâmide é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. O enunciado nos deu o eixo da pirâmide (que liga o vértice ao centróide da base) e o ângulo entre esse eixo e a normal à base. Se imaginarmos o eixo como um vetor de comprimento L que faz ângulo \alpha com a direção da normal, então a componente desse vetor na direção da normal — que é exatamente a altura h — é a projeção de L nessa direção.
Projeção/ componente: se um segmento de comprimento L faz ângulo \alpha com uma direção, a componente ao longo dessa direção vale L\cos\alpha. Isso vem da definição de cosseno num triângulo retângulo: o cosseno do ângulo é a razão entre a cateto adjacente (a componente) e a hipotenusa (o comprimento L).

Passo 3

Aplicando a ideia da projeção ao nosso caso: como \alpha é o ângulo entre o eixo e a normal, a altura é a projeção do eixo na normal. Portanto a fórmula é
h = L\cos\alpha.
Aqui h é a altura que queremos, L é o comprimento do eixo e \alpha é o ângulo entre eixo e normal (todos já dados).

Passo 4

Calcular numericamente h. Substituindo L=15 e \alpha=20^\circ na fórmula do passo anterior:
h = 15\cos(20^\circ).
Agora precisamos do valor numérico de \cos(20^\circ). Para ângulos que não são ângulos “especiais” (como 30^\circ,45^\circ,60^\circ), usa-se calculadora científica; o valor aproximado é \cos(20^\circ)\approx 0,9396926. Multiplicando:
h \approx 15\times 0,9396926 = 14,095389.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil numa prova), obtemos
h \approx 14,10\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Fórmula do volume da pirâmide (explicação didática).
O volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base multiplicada pela altura perpendicular:
V=\frac{1}{3}\times(\text{área da base})\times h.á
No caso da base quadrada de lado a, a área da base é a^2. Então:
V=\frac{1}{3}a^{2}h.

Passo 6

Substituindo a=10\\ \mathrm{cm} e o valor de h (usamos o valor não arredondado para maior precisão) temos:
a^{2}=10^{2}=100,
V=\frac{1}{3}\times 100 \times h = \frac{100}{3}\,h.
Usando h\approx 14,095389,
V \approx \frac{100}{3}\times 14,095389 = \frac{1409,5389}{3}\approx 469,8463\\ \mathrm{cm^{3}}.
Arredondando para duas casas decimais:
V \approx 469,85\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 7

Breve verificação mental e incentivo: faz sentido que a altura seja um pouco menor que L porque o eixo está inclinado 20^\circ em relação à normal; \cos(20^\circ) é próximo de 0,94, então h fica perto de 0,94L. O volume calculado é compatível com uma base de 100\\ \mathrm{cm^2} e altura \sim 14\\ \mathrm{cm}. Vai dar certo na prova — respira, você entendeu o raciocínio!

Resposta

h = 15\cos(20^\circ)\approx 14,10\\ \mathrm{cm}
V = \dfrac{1}{3}a^{2}h = \dfrac{100}{3}\,h \approx 469,85\\ \mathrm{cm^{3}}

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