Baseado nos resultados obtidos no exercício anterior e no funcionamento do algoritmo de Euclides (divisão euclidiana), o que você pode deduzir sobre a expansão decimal de um número racional positivo representado pela fração irredutível
?
Dica: Pense no número de restos possíveis que podem aparecer durante as etapas da divisão por
.
Dica: Pense no número de restos possíveis que podem aparecer durante as etapas da divisão por
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir, a partir do funcionamento da divisão euclidiana (algoritmo da divisão / divisão longa), qual é a forma da expansão decimal de um número racional positivo dado por uma fração irredutível
.
Informações dadas e condições a usar:
-
é uma fração positiva e irredutível, isto é, e são inteiros positivos e . - A dica fala para pensar no número de restos possíveis durante as etapas da divisão por
(isso se refere ao algoritmo da divisão longa quando construímos a parte decimal). - Não há imagem; trabalhar com o algoritmo padrão de divisão longa (restos entre
e ).
Passo 2
Vou explicar como a divisão longa gera a expansão decimal e como aparecem os restos.
Passo a passo do algoritmo de divisão longa para obter a parte decimal de
:
- Primeiro, divida
por para obter a parte inteira e o resto inicial
com
. A expansão decimal começa como
ponto, e depois vem a parte decimal gerada pelos restos seguintes.
- Para cada casa decimal, multiplica-se o resto atual por
, divide-se esse produto por e obtém-se um dígito da expansão e um novo resto. Formalmente, para :
com
(o dígito decimal) e
.
- Assim os dígitos decimais aparecem como
e os restos formam a sequência .
Explicação do que é um resto aqui: cada
é o resto da divisão de
por
. Importante: cada resto é um inteiro entre
e
.
Passo 3
Observação crucial sobre a lista de restos: há apenas
valores possíveis para um resto:
.
Pelo princípio da casa-pombo (pigeonhole principle), ao gerar a sequência infinita
de restos, necessariamente uma das duas coisas acontece:
- em algum passo
; ou - algum resto distinto repete, isto é, existem índices
tais que e esse resto é não nulo.
Não há outras possibilidades porque não existem mais de
restos possíveis.
Passo 4
Consequências das duas alternativas (termina ou repete):
- Se em algum passo
:
- Então a divisão terminou exatamente naquela casa decimal; todos os restos posteriores serão
e os dígitos seguintes serão todos zeros. - Isso significa que a expansão decimal tem um número finito de casas decimais — ou seja, a expansão decimal termina (é finita).
- Se algum resto não nulo se repete: suponha
com e .
- Quando um mesmo resto reaparece, a partir daquele ponto a divisão longa seguirá exatamente o mesmo procedimento que seguiu entre
e : multiplicando por , dividindo por , os quocientes (dígitos) serão os mesmos em cada ciclo. - Logo, os dígitos decimais entre as posições
até vão se repetir indefinidamente. - Portanto a expansão decimal torna-se periódica a partir do primeiro aparecimento desse resto repetido (ou seja, a parte decimal é eventualmente periódica).
Conclusão imediata: a expansão decimal de
é ou terminante (se algum resto chega a
) ou eventualmente periódica (se um resto não nulo repetir).
Passo 5
Mais detalhes úteis e limites sobre o período:
-
O comprimento do período (o número de dígitos que se repetem) é, no máximo,
. Por quê? Porque há no máximo restos possíveis diferentes não nulos. Assim antes de gerar restos não nulos dois deles obrigatoriamente se repetem, dando um ciclo de comprimento ≤ . -
Uma observação prática: se
(ou seja, não tem fatores primos nem ), então o resto nunca chegará a (porque para todo ), e a expansão decimal da parte fracionária é puramente periódica depois do ponto decimal (ou seja, o período começa logo após o ponto, exceto pela parte inteira). Se , pode haver uma parte inicial não repetida seguida de um período.
Passo 6
Caracterização completa de quando termina e quando repete (condição em termos de fatores primos de
):
- Se
tem só fatores e , ou seja, se
para alguns inteiros
, então existe
tal que
. Então
é inteiro, o que significa que a expansão decimal termina com, no máximo,
casas decimais. Assim nesses casos a expansão decimal termina.
- Recíproco: se a expansão decimal termina, existe
tal que é inteiro, logo divide . Como , isso força a dividir , e assim todos os fatores primos de são entre . Portanto a expansão termina se e só se tem apenas fatores e .
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia (mostrando restos):
-
. Temos . Resto inicial . Multiplicando por : , divide por dá quociente e resto . Próximo: , divide por quociente resto . Como resto chegou a zero, a expansão termina: . -
. Aqui (não tem fatores nem ). Resto inicial . , divide por quociente resto — o resto voltou a imediatamente, então o dígito se repete: . -
. Aqui . A parte decimal começa com resto . Fazendo a divisão longa aparecem restos que primeiro produzem alguns dígitos não repetidos e depois um ciclo causado pelo fator ; o resultado é (termina a parte inicial porque há fatores e depois repete por causa do ).
Passo 8
Resumo didático e prático (como lembrar para a prova):
- Sempre aplique a divisão longa: os restos estão em
. Portanto ou algum resto vira (expansão termina) ou um resto se repete (a partir daí os dígitos repetem). - Assim a expansão decimal de
é sempre ou terminante ou eventualmente periódica. - Critério rápido para terminante: a expansão termina se, e somente se, todos os fatores primos de
forem e/ou . - Lembre-se do limite prático: o período tem comprimento no máximo
.
Resposta
A expansão decimal de
(fração irreduzível,
) é sempre ou terminante ou eventualmente periódica. Ela termina se, e somente se,
tem apenas os fatores primos
e/ou
(isto é,
); caso contrário a parte decimal torna-se periódica. O comprimento do período é, no máximo,
.