Baseado nos resultados obtidos no exercício anterior e no funcionamento do algoritmo de Euclides (divisão euclidiana), o que você pode deduzir sobre a expansão decimal de um número racional positivo representado pela fração irredutível \frac{p}{q} ?
Dica: Pense no número de restos possíveis que podem aparecer durante as etapas da divisão por q.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir, a partir do funcionamento da divisão euclidiana (algoritmo da divisão / divisão longa), qual é a forma da expansão decimal de um número racional positivo dado por uma fração irredutível \dfrac{p}{q}.
Informações dadas e condições a usar:
  • \dfrac{p}{q} é uma fração positiva e irredutível, isto é, p e q são inteiros positivos e \gcd(p,q)=1.
  • A dica fala para pensar no número de restos possíveis durante as etapas da divisão por q (isso se refere ao algoritmo da divisão longa quando construímos a parte decimal).
  • Não há imagem; trabalhar com o algoritmo padrão de divisão longa (restos entre 0 e q-1).

Passo 2

Vou explicar como a divisão longa gera a expansão decimal e como aparecem os restos.
Passo a passo do algoritmo de divisão longa para obter a parte decimal de \dfrac{p}{q}:
  • Primeiro, divida p por q para obter a parte inteira a_0=\left\lfloor\dfrac{p}{q}\right\rfloor e o resto inicial
r_0 = p - q\cdot a_0,
com 0\le r_0<q. A expansão decimal começa como a_0, ponto, e depois vem a parte decimal gerada pelos restos seguintes.
  • Para cada casa decimal, multiplica-se o resto atual por 10, divide-se esse produto por q e obtém-se um dígito da expansão e um novo resto. Formalmente, para n\ge0:
10 r_n = a_{n+1}\,q + r_{n+1},
com a_{n+1}\in\{0,1,\dots,9\} (o dígito decimal) e 0\le r_{n+1}<q.
  • Assim os dígitos decimais aparecem como a_1,a_2,a_3,\dots e os restos formam a sequência r_0,r_1,r_2,\dots.
Explicação do que é um resto aqui: cada r_n é o resto da divisão de 10 r_{n-1} por q. Importante: cada resto é um inteiro entre 0 e q-1.

Passo 3

Observação crucial sobre a lista de restos: há apenas q valores possíveis para um resto: 0,1,2,\dots,q-1.
Pelo princípio da casa-pombo (pigeonhole principle), ao gerar a sequência infinita r_0,r_1,r_2,\dots de restos, necessariamente uma das duas coisas acontece:
  • em algum passo r_n=0; ou
  • algum resto distinto repete, isto é, existem índices i<j tais que r_i=r_j e esse resto é não nulo.
Não há outras possibilidades porque não existem mais de q restos possíveis.

Passo 4

Consequências das duas alternativas (termina ou repete):
  1. Se em algum passo r_n=0:
  • Então a divisão terminou exatamente naquela casa decimal; todos os restos posteriores serão 0 e os dígitos seguintes serão todos zeros.
  • Isso significa que a expansão decimal tem um número finito de casas decimais — ou seja, a expansão decimal termina (é finita).
  1. Se algum resto não nulo se repete: suponha r_i=r_j com 0\le i<j e r_i\neq0.
  • Quando um mesmo resto reaparece, a partir daquele ponto a divisão longa seguirá exatamente o mesmo procedimento que seguiu entre i e j: multiplicando por 10, dividindo por q, os quocientes (dígitos) serão os mesmos em cada ciclo.
  • Logo, os dígitos decimais entre as posições i+1 até j vão se repetir indefinidamente.
  • Portanto a expansão decimal torna-se periódica a partir do primeiro aparecimento desse resto repetido (ou seja, a parte decimal é eventualmente periódica).
Conclusão imediata: a expansão decimal de \dfrac{p}{q} é ou terminante (se algum resto chega a 0) ou eventualmente periódica (se um resto não nulo repetir).

Passo 5

Mais detalhes úteis e limites sobre o período:
  • O comprimento do período (o número de dígitos que se repetem) é, no máximo, q-1. Por quê? Porque há no máximo q-1 restos possíveis diferentes não nulos. Assim antes de gerar q restos não nulos dois deles obrigatoriamente se repetem, dando um ciclo de comprimento ≤ q-1.
  • Uma observação prática: se \gcd(q,10)=1 (ou seja, q não tem fatores primos 2 nem 5), então o resto nunca chegará a 0 (porque q\nmid 10^n para todo n), e a expansão decimal da parte fracionária é puramente periódica depois do ponto decimal (ou seja, o período começa logo após o ponto, exceto pela parte inteira). Se \gcd(q,10)\ne1, pode haver uma parte inicial não repetida seguida de um período.

Passo 6

Caracterização completa de quando termina e quando repete (condição em termos de fatores primos de q):
  • Se q tem só fatores 2 e 5, ou seja, se
q = 2^{\alpha} 5^{\beta}
para alguns inteiros \alpha,\beta\ge0, então existe k=\max(\alpha,\beta) tal que q\mid 10^k. Então
\frac{p}{q}\cdot 10^k=\frac{p\cdot 10^k}{q}
é inteiro, o que significa que a expansão decimal termina com, no máximo, k casas decimais. Assim nesses casos a expansão decimal termina.
  • Recíproco: se a expansão decimal termina, existe k tal que p\cdot 10^k/q é inteiro, logo q divide p\cdot 10^k. Como \gcd(p,q)=1, isso força q a dividir 10^k, e assim todos os fatores primos de q são entre \{2,5\}. Portanto a expansão termina se e só se q tem apenas fatores 2 e 5.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia (mostrando restos):
  • \dfrac{1}{4}. Temos q=4=2^2. Resto inicial r_0=1. Multiplicando por 10: 10\cdot1=10, divide por 4 dá quociente 2 e resto 2. Próximo: 10\cdot2=20, divide por 4 quociente 5 resto 0. Como resto chegou a zero, a expansão termina: \dfrac{1}{4}=0,25.
  • \dfrac{1}{3}. Aqui q=3 (não tem fatores 2 nem 5). Resto inicial r_0=1. 10\cdot1=10, divide por 3 quociente 3 resto 1 — o resto voltou a 1 imediatamente, então o dígito 3 se repete: \dfrac{1}{3}=0,\overline{3}.
  • \dfrac{7}{12}. Aqui q=12=2^2\cdot3. A parte decimal começa com resto r_0=7. Fazendo a divisão longa aparecem restos que primeiro produzem alguns dígitos não repetidos e depois um ciclo causado pelo fator 3; o resultado é \dfrac{7}{12}=0,58\overline{3} (termina a parte inicial porque há fatores 2 e depois repete por causa do 3).

Passo 8

Resumo didático e prático (como lembrar para a prova):
  • Sempre aplique a divisão longa: os restos estão em \{0,1,\dots,q-1\}. Portanto ou algum resto vira 0 (expansão termina) ou um resto se repete (a partir daí os dígitos repetem).
  • Assim a expansão decimal de \dfrac{p}{q} é sempre ou terminante ou eventualmente periódica.
  • Critério rápido para terminante: a expansão termina se, e somente se, todos os fatores primos de q forem 2 e/ou 5.
  • Lembre-se do limite prático: o período tem comprimento no máximo q-1.

Resposta

A expansão decimal de \dfrac{p}{q} (fração irreduzível, p,q>0) é sempre ou terminante ou eventualmente periódica. Ela termina se, e somente se, q tem apenas os fatores primos 2 e/ou 5 (isto é, q=2^{\alpha}5^{\beta}); caso contrário a parte decimal torna-se periódica. O comprimento do período é, no máximo, q-1.

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