Construa as representações decimais das seguintes frações, utilizando o algoritmo da divisão:
\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede: construir a representação decimal da fração \frac{1}{3} usando o algoritmo da divisão.
Informações dadas: o numerador é \,1, e o denominador é \,3. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Explicando o algoritmo da divisão (passo a passo, sem pular etapas): quando dividimos um número inteiro menor que o divisor, o quociente inteiro é 0 e sobra um resto igual ao próprio número. Para obter casas decimais adicionamos uma vírgula no quociente e “trazemos” zeros à direita do resto, como se estivéssemos dividindo números inteiros maiores. Cada vez que trazemos um zero formamos um novo dividendo e obtemos um novo dígito do quociente e um novo resto. Se um resto já apareceu antes, a sequência de dígitos a partir daí vai se repetir indefinidamente (porque o processo de divisão depende apenas do resto atual).
Começando a divisão de \,1 por \,3:
  • Como \,1<3, a parte inteira do quociente é 0. Então o quociente começa com 0, (vírgula).
  • Colocamos vírgula e trazemos um zero ao resto 1, transformando-o em 10.
    Agora dividimos 10 por 3:
10 \div 3 = 3\quad\text{com resto}\quad 10 - 3\cdot 3 = 1.
Portanto, o primeiro dígito decimal é 3 e o novo resto é novamente 1.

Passo 3

Repare o ponto crucial: após obter o dígito 3 o resto voltou a ser 1, exatamente o mesmo resto com que começamos. Isso significa que, ao trazermos outro zero, o processo se repete: novamente teremos 10 \div 3 = 3 com resto 1. Assim cada nova casa decimal será 3 e o resto ficará sempre 1. Logo os dígitos decimais repetem indefinidamente o 3.
Escrevendo a expansão decimal resultante: os dígitos após a vírgula são todos 3, portanto
\frac{1}{3} = 0,333\ldots
Para indicar a repetição do 3 de forma compacta usa-se a barra (ou parênteses) sobre o período:
\frac{1}{3} = 0,\overline{3}.

Passo 4

Verificação algébrica simples (para ter confiança no resultado): defina x como a decimal repetida,
x = 0,333\ldots.
Multiplicando por 10 desloca-se a vírgula uma casa:
10x = 3,333\ldots.
Subtraindo as duas equações:
10x - x = 3,333\ldots - 0,333\ldots \Rightarrow 9x = 3.
Assim x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}, confirmando que 0,333\ldots é de fato \dfrac{1}{3}.
Observação adicional (fórmula rápida para repetições de um dígito): se um decimal é 0,\overline{a} com um único dígito repetido a, então esse número vale \dfrac{a}{9}. No nosso caso a=3 e obtemos 3/9=1/3. Isso explica por que o período tem comprimento 1 e resulta em denominador 3 simplificado.

Resposta

\dfrac{1}{3}=0,\overline{3}=0,333\ldots

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