Construa as representações decimais das seguintes frações, utilizando o algoritmo da divisão:
Passo 1
O enunciado pede: construir a representação decimal da fração
usando o algoritmo da divisão.
Informações dadas: o numerador é , e o denominador é
. Nada mais é fornecido.
Informações dadas: o numerador é
Passo 2
Explicando o algoritmo da divisão (passo a passo, sem pular etapas): quando dividimos um número inteiro menor que o divisor, o quociente inteiro é
e sobra um resto igual ao próprio número. Para obter casas decimais adicionamos uma vírgula no quociente e “trazemos” zeros à direita do resto, como se estivéssemos dividindo números inteiros maiores. Cada vez que trazemos um zero formamos um novo dividendo e obtemos um novo dígito do quociente e um novo resto. Se um resto já apareceu antes, a sequência de dígitos a partir daí vai se repetir indefinidamente (porque o processo de divisão depende apenas do resto atual).
Começando a divisão de
por
:
- Como
, a parte inteira do quociente é . Então o quociente começa com (vírgula). - Colocamos vírgula e trazemos um zero ao resto
, transformando-o em .
Agora dividimospor :
Portanto, o primeiro dígito decimal é
e o novo resto é novamente
.
Passo 3
Repare o ponto crucial: após obter o dígito
o resto voltou a ser
, exatamente o mesmo resto com que começamos. Isso significa que, ao trazermos outro zero, o processo se repete: novamente teremos
com resto
. Assim cada nova casa decimal será
e o resto ficará sempre
. Logo os dígitos decimais repetem indefinidamente o
.
Escrevendo a expansão decimal resultante: os dígitos após a vírgula são todos
, portanto
Para indicar a repetição do
de forma compacta usa-se a barra (ou parênteses) sobre o período:
Passo 4
Verificação algébrica simples (para ter confiança no resultado): defina
como a decimal repetida,
Multiplicando por
desloca-se a vírgula uma casa:
Subtraindo as duas equações:
Assim
, confirmando que
é de fato
.
Observação adicional (fórmula rápida para repetições de um dígito): se um decimal é
com um único dígito repetido
, então esse número vale
. No nosso caso
e obtemos
. Isso explica por que o período tem comprimento
e resulta em denominador
simplificado.