Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{\alpha^{5}+5}{\alpha} d \alpha;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função fornecida. Informações dadas e o que se pede:
  • Integral a calcular: \int \frac{\alpha^{5}+5}{\alpha}\,d\alpha.
  • A variável de integração é \alpha.
  • Observação importante: a expressão tem divisão por \alpha, então \alpha\neq0 no domínio considerado.
  • Objetivo: obter uma antiderivada (primitiva) da função e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica dentro da integral, dividindo termo a termo por \alpha:
\frac{\alpha^{5}+5}{\alpha}=\frac{\alpha^{5}}{\alpha}+\frac{5}{\alpha}=\alpha^{4}+5\alpha^{-1}.
Isto facilita porque transforma a integral numa soma de termos cujo antiderivado conhecemos.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim
\int \left(\alpha^{4}+5\alpha^{-1}\right)\,d\alpha = \int \alpha^{4}\,d\alpha + 5\int \alpha^{-1}\,d\alpha.
Explicando a propriedade: para quaisquer funções u(\alpha) e v(\alpha) e constantes a,b,
\int \big(a\,u(\alpha)+b\,v(\alpha)\big)d\alpha = a\int u(\alpha)\,d\alpha + b\int v(\alpha)\,d\alpha.

Passo 4

Integrando o termo de potência \alpha^{4}: usamos a regra da potência para integrais. A regra diz:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int \alpha^{n}\,d\alpha = \frac{\alpha^{n+1}}{n+1}+C.
    Aqui n=4, então
\int \alpha^{4}\,d\alpha = \frac{\alpha^{5}}{5}.
Explicação do porquê: a derivada de \dfrac{\alpha^{5}}{5} é \dfrac{5\alpha^{4}}{5}=\alpha^{4}, logo \dfrac{\alpha^{5}}{5} é uma antiderivada de \alpha^{4}.

Passo 5

Integrando o termo \alpha^{-1}: este caso é especial porque n=-1, e a regra da potência não vale. A antiderivada de \alpha^{-1} é o logaritmo natural (com valor absoluto):
\int \alpha^{-1}\,d\alpha = \int \frac{1}{\alpha}\,d\alpha = \ln|\alpha| + C.
Motivação: a derivada de \ln|\alpha| é \dfrac{1}{\alpha} para \alpha\neq0, por isso essa é a primitiva correta (o valor absoluto garante que a fórmula funcione tanto para \alpha>0 quanto para \alpha<0).

Passo 6

Agora juntamos os resultados das integrais parciais e lembramos da constante multiplicativa 5 que estava fora da segunda integral:
\int \frac{\alpha^{5}+5}{\alpha}\,d\alpha = \frac{\alpha^{5}}{5} + 5\ln|\alpha| + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante que agrega as constantes de cada termo).

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (para conferir na prova): diferenciar \dfrac{\alpha^{5}}{5}+5\ln|\alpha|+C
\frac{d}{d\alpha}\!\left(\frac{\alpha^{5}}{5}\right)+\frac{d}{d\alpha}\!\left(5\ln|\alpha|\right)+\frac{d}{d\alpha}C = \alpha^{4} + 5\cdot\frac{1}{\alpha} + 0 = \frac{\alpha^{5}+5}{\alpha},
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\dfrac{\alpha^{5}}{5}+5\ln|\alpha|+C

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