Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
;
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função fornecida. Informações dadas e o que se pede:
- Integral a calcular:
- A variável de integração é
. - Observação importante: a expressão tem divisão por
, então no domínio considerado. - Objetivo: obter uma antiderivada (primitiva) da função e apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica dentro da integral, dividindo termo a termo por
:
Isto facilita porque transforma a integral numa soma de termos cujo antiderivado conhecemos.
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim
Explicando a propriedade: para quaisquer funções
e
e constantes
,
Passo 4
Integrando o termo de potência
: usamos a regra da potência para integrais. A regra diz:
- Para
, .
Aqui, então
Explicação do porquê: a derivada de
é
, logo
é uma antiderivada de
.
Passo 5
Integrando o termo
: este caso é especial porque
, e a regra da potência não vale. A antiderivada de
é o logaritmo natural (com valor absoluto):
Motivação: a derivada de
é
para
, por isso essa é a primitiva correta (o valor absoluto garante que a fórmula funcione tanto para
quanto para
).
Passo 6
Agora juntamos os resultados das integrais parciais e lembramos da constante multiplicativa
que estava fora da segunda integral:
onde
é a constante de integração (uma única constante que agrega as constantes de cada termo).
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (para conferir na prova): diferenciar
dá
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.