Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente,
das placas são classificadas como altas,
como médias e
como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça
e
denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
© Determine
e
© Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a classificação de placas de ferrita em três categorias: alta, média e baixa. As probabilidades históricas são 5% para alta, 80% para média e 15% para baixa. A gente pegou uma amostra de 20 placas e definiu $ X_1 $, $ X_2 $ e $ X_3 $ como o número de placas classificadas, respectivamente, como alta, média e baixa. A gente precisa calcular duas probabilidades: uma específica ($ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2)
P(X \leq 1) $).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) $. Isso significa a probabilidade de, em 20 placas, exatamente 1 ser alta, 17 médias e 2 baixas. Como temos três categorias com probabilidades diferentes, usamos a distribuição multinomial.
Passo 3
A fórmula da distribuição multinomial é:
Onde:
- $ n = 20 $ (total de placas)
- $ k_1 = 1 $, $ k_2 = 17 $, $ k_3 = 2 $ (números específicos)
- $ p_1 = 0.05 $, $ p_2 = 0.80 $, $ p_3 = 0.15 $ (probabilidades)
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, calcular cada parte:
- $ \frac{20!}{1! \times 17! \times 2!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{2} = 1140 $
- $ 0.05^1 = 0.05 $
- $ 0.80^{17} \approx 0.03518 $
- $ 0.15^2 = 0.0225 $
Passo 6
Multiplicando tudo:
Então, $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) \approx 0.045 $ ou 4,5%.
Passo 7
Agora, vamos calcular $ P(X \leq 1) $. Aqui, presumo que $ X $ se refere a $ X_1 $ (número de placas altas). Então, queremos a probabilidade de ter no máximo 1 placa alta em 20.
Passo 8
Para $ X_1 \leq 1 $, calculamos $ P(X_1=0) + P(X_1=1) $ usando a distribuição binomial, já que estamos focando em uma categoria.
Passo 9
A fórmula da binomial é:
Onde:
- $ n = 20 $
- $ p = 0.05 $
- $ k = 0 $ e $ k = 1 $
Passo 10
Calculando $ P(X_1=0) $:
E $ P(X_1=1) $:
Resposta
Portanto, $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) \approx 4,5% $ e $ P(X \leq 1) \approx 35,85% + 37,74% = 73,59% $.