Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente, 5 % das placas são classificadas como altas, 80 % como médias e 15 % como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça X1, X2 e X3 denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
© Determine P(X1=1, X2=17, X3=2) e P(X <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a classificação de placas de ferrita em três categorias: alta, média e baixa. As probabilidades históricas são 5% para alta, 80% para média e 15% para baixa. A gente pegou uma amostra de 20 placas e definiu $ X_1 $, $ X_2 $ e $ X_3 $ como o número de placas classificadas, respectivamente, como alta, média e baixa. A gente precisa calcular duas probabilidades: uma específica ($ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) X1 P(X \leq 1) $).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) $. Isso significa a probabilidade de, em 20 placas, exatamente 1 ser alta, 17 médias e 2 baixas. Como temos três categorias com probabilidades diferentes, usamos a distribuição multinomial.

Passo 3

A fórmula da distribuição multinomial é:
P(X1 = k1, X2 = k2, X3 = k3) = n!k1! , k2! , k3! times p1^k1 times p2^k2 times p3^k3
Onde:
  • $ n = 20 $ (total de placas)
  • $ k_1 = 1 $, $ k_2 = 17 $, $ k_3 = 2 $ (números específicos)
  • $ p_1 = 0.05 $, $ p_2 = 0.80 $, $ p_3 = 0.15 $ (probabilidades)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X1=1, X2=17, X3=2) = 20!1! times 17! times 2! times 0.05^1 times 0.80^17 times 0.15^2

Passo 5

Agora, calcular cada parte:
  • $ \frac{20!}{1! \times 17! \times 2!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{2} = 1140 $
  • $ 0.05^1 = 0.05 $
  • $ 0.80^{17} \approx 0.03518 $
  • $ 0.15^2 = 0.0225 $

Passo 6

Multiplicando tudo:
1140 times 0.05 times 0.03518 times 0.0225 approx 0.045
Então, $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) \approx 0.045 $ ou 4,5%.

Passo 7

Agora, vamos calcular $ P(X \leq 1) $. Aqui, presumo que $ X $ se refere a $ X_1 $ (número de placas altas). Então, queremos a probabilidade de ter no máximo 1 placa alta em 20.

Passo 8

Para $ X_1 \leq 1 $, calculamos $ P(X_1=0) + P(X_1=1) $ usando a distribuição binomial, já que estamos focando em uma categoria.

Passo 9

A fórmula da binomial é:
P(X=k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 20 $
  • $ p = 0.05 $
  • $ k = 0 $ e $ k = 1 $

Passo 10

Calculando $ P(X_1=0) $:
P(X1=0)
E $ P(X_1=1) $:
P(X1=0) = binom200 times 0.05^0 times 0.95^20 = 1 times 1 times 0.3585 approx 0.3585

Resposta

Portanto, $ P(X_1=1, X_2=17, X_3=2) \approx 4,5% $ e $ P(X \leq 1) \approx 35,85% + 37,74% = 73,59% $.

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