Suponha que X e Y são variáveis aleatórias i.i.d. e que cada uma tem função densidade dada por:
f(x)=8 x y, com 0 <= x <= y <= 1
Seja U=X / Y e V=Y.
Determine a função densidade conjunta de U e V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d). A densidade de probabilidade delas é dada por:
X
Nosso objetivo aqui é encontrar a função densidade conjunta de duas novas variáveis, $ U = \frac{X}{Y} $ e $ V = Y $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação de variáveis e cálculo do Jacobiano, que nos ajuda a ajustar a densidade quando fazemos a mudança de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a transformação das variáveis. Temos:
U = XY V = Y
Nosso objetivo é encontrar a densidade conjunta $ f_{U,V}(u, v) $. Para isso, precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $, ou seja, encontrar as inversas dessas equações.

Passo 3

Vamos resolver as equações para $ X $ e $ Y $:
X
Então, temos:
Y
Agora, temos as expressões inversas que vamos usar.

Passo 4

Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Neste caso, queremos $ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} $.
As derivadas são:
partial(x,y)partial(u,v)
Então, a matriz Jacobiana fica:
partial Xpartial U = V partial Xpartial V = U partial Ypartial U = 0 partial Ypartial V = 1
O determinante do Jacobiano é:
J = V & U 0 & 1

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da transformação de variáveis para densidades conjuntas:
fU,V(u, v) = fX,Y(x, y) times |J|
Substituindo $ X = U V $ e $ Y = V $ na densidade original:
X = U V
Multiplicando pelo determinante do Jacobiano:
Y = V

Resposta

A função densidade conjunta de $ U $ e $ V $ é:
U

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