Suponha que
e
são variáveis aleatórias i.i.d. e que cada uma tem função densidade dada por:
Seja
e
.
Determine a função densidade conjunta de
e
.
Determine a função densidade conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d). A densidade de probabilidade delas é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a função densidade conjunta de duas novas variáveis, $ U = \frac{X}{Y} $ e $ V = Y $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação de variáveis e cálculo do Jacobiano, que nos ajuda a ajustar a densidade quando fazemos a mudança de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a transformação das variáveis. Temos:
Nosso objetivo é encontrar a densidade conjunta $ f_{U,V}(u, v) $. Para isso, precisamos expressar $ X $ e $ Y $ em termos de $ U $ e $ V $, ou seja, encontrar as inversas dessas equações.
Passo 3
Vamos resolver as equações para $ X $ e $ Y $:
Então, temos:
Agora, temos as expressões inversas que vamos usar.
Passo 4
Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é uma matriz que contém as derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Neste caso, queremos $ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} $.
As derivadas são:
Então, a matriz Jacobiana fica:
O determinante do Jacobiano é:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da transformação de variáveis para densidades conjuntas:
Substituindo $ X = U V $ e $ Y = V $ na densidade original:
Multiplicando pelo determinante do Jacobiano:
Resposta
A função densidade conjunta de $ U $ e $ V $ é: