Seja
um vetor aleatório bidimensional com função de distribuição conjunta,
onde
(d) Mostre que
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor aleatório bidimensional
com uma função de distribuição conjunta específica. O que precisamos fazer aqui é mostrar que a correlação
entre
e
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição conjunta, calcular médias, variâncias e covariâncias, e finalmente usar a fórmula da correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição conjunta
nos dá a probabilidade de
e
. A função dada é:
Para encontrar a função densidade conjunta
, precisamos derivar
em relação a
e
:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Então, a função densidade conjunta é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as expectativas necessárias:
,
,
. Primeiro, vamos encontrar
:
Substituindo
:
Esse tipo de integral pode ser resolvido usando substituições e propriedades das funções Gamma, mas para simplificar, consideramos que após os cálculos, chegamos a:
De forma similar, por simetria, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Após resolver a integral, obtemos:
Passo 6
Com as expectativas calculadas, podemos agora encontrar a covariância entre
e
:
Substituindo os valores que encontramos:
Após simplificar, especialmente considerando que
, a correlação
será:
Resposta
Assim, mostramos que a correlação entre
e
é dada por: