Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídos com distribuição geométrica com parâmetros
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes e seguem a distribuição geométrica com o parâmetro $ p $ (que é um número entre 0 e 1). O que a gente precisa descobrir aqui é a distribuição de $ \min(X, Y) $, ou seja, o menor valor entre $ X $ e $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição geométrica. Ela modela o número de tentativas necessárias até o primeiro sucesso em uma série de experimentos de Bernoulli (onde cada tentativa tem sucesso com probabilidade $ p $). A função de probabilidade de uma variável geométrica é dada por:
para $ k = 1, 2, 3, ··· $
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ \min(X, Y) = k $. Isso significa que o menor valor entre $ X $ e $ Y $ é exatamente $ k $. Para que isso aconteça, uma das variáveis deve ser igual a $ k $ e a outra deve ser maior ou igual a $ k $.
Passo 4
Como $ X $ e $ Y $ são independentes e identicamente distribuídos, podemos calcular essa probabilidade usando:
Mas como $ X $ e $ Y $ são iguais na distribuição, isso simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular $ P(Y \geq k) $. Como $ Y $ é geométrica, a probabilidade de $ Y \geq k $ é a probabilidade de não ter sucesso nas primeiras $ k - 1 $ tentativas:
Passo 6
Substituindo os valores na expressão anterior:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A distribuição de $ \min(X, Y) $ é dada por: