Suponha que a demanda diária X e Y de duas peças (A e B), pode ser considerado como uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade conjunta
f(x, y)= k(3 x+2 y-4), & se x, y=1,2,3 0, & c c
(b) Se um dia a demanda da peça A foi de duas peças, qual é a probabilidade que a demanda da peça B nesse dia seja no mínimo de duas peças.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem a demanda diária das peças A e B, representadas pelas variáveis aleatórias X e Y. A função de probabilidade conjunta é dada por:
f(x, y)= k(3 x+2 y-4), & se x, y=1,2,3 0, & caso contrário á
A pergunta é: Se em um dia a demanda da peça A foi de duas peças, qual é a probabilidade de que a demanda da peça B nesse dia seja no mínimo duas peças? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante k. Para isso, sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, vamos somar f(x, y) para todos os valores possíveis de x e y (1, 2, 3):
sumx=1^3 sumy=1^3 k(3x + 2y - 4) = 1
Vamos calcular essa soma:
Para x=1:
  • y=1: 3(1) + 2(1) - 4 = 3 + 2 - 4 = 1
  • y=2: 3(1) + 2(2) - 4 = 3 + 4 - 4 = 3
  • y=3: 3(1) + 2(3) - 4 = 3 + 6 - 4 = 5
Soma para x=1: 1 + 3 + 5 = 9
Para x=2:
  • y=1: 3(2) + 2(1) - 4 = 6 + 2 - 4 = 4
  • y=2: 3(2) + 2(2) - 4 = 6 + 4 - 4 = 6
  • y=3: 3(2) + 2(3) - 4 = 6 + 6 - 4 = 8
Soma para x=2: 4 + 6 + 8 = 18
Para x=3:
  • y=1: 3(3) + 2(1) - 4 = 9 + 2 - 4 = 7
  • y=2: 3(3) + 2(2) - 4 = 9 + 4 - 4 = 9
  • y=3: 3(3) + 2(3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11
Soma para x=3: 7 + 9 + 11 = 27
Agora, somando todos os resultados: 9 + 18 + 27 = 54
Então, temos:
k times 54 = 1 Rightarrow k = 154

Passo 3

Agora que sabemos que k = 154, vamos focar na parte que precisamos resolver: a probabilidade de que a demanda da peça B seja no mínimo duas peças, dado que a demanda da peça A foi de duas peças.
Isso é representado por P(Y >= 2 mid X = 2).
Primeiro, vamos entender a probabilidade condicional:
P(Y >= 2 mid X = 2) = P(X = 2 e Y >= 2)P(X = 2)

Passo 4

Vamos calcular o denominador P(X = 2), que é a probabilidade de que a demanda da peça A seja 2:
P(X = 2) = sumy=1^3 f(2, y) = 154 times (4 + 6 + 8) = 1854 = 13

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador P(X = 2 e Y >= 2):
P(X = 2 e Y >= 2) = f(2, 2) + f(2, 3) = 154 times 6 + 154 times 8 = 1454 = 727

Passo 6

Agora, substituímos os valores no cálculo da probabilidade condicional:
P(Y >= 2 mid X = 2) = 72713 = 727 times 3 = 79

Resposta

A probabilidade de que a demanda da peça B seja no mínimo duas peças, dado que a demanda da peça A foi de duas peças, é 79.

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