Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente,
das placas são classificadas como altas,
como médias e
como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça
e
denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
(a) Quais são os nomes e os valores da distribuição de probabilidades conjuntas de
e
?
(a) Quais são os nomes e os valores da distribuição de probabilidades conjuntas de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferrita que pode ser classificada como alta, média ou baixa, com probabilidades de
,
e
respectivamente. Selecionamos uma amostra de 20 placas e definimos
,
e
como o número de placas classificadas como alta, média e baixa. A pergunta é: quais são os nomes e os valores da distribuição de probabilidades conjuntas de
,
e
?
Vamos precisar entender de distribuições de probabilidade e, mais especificamente, da distribuição multinomial, que é usada quando temos mais de duas categorias.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição multinomial. Ela generaliza a distribuição binomial para mais de duas categorias. No nosso caso, temos três categorias: alta, média e baixa. A distribuição multinomial nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter um certo número de ocorrências em cada categoria quando realizamos um experimento várias vezes, como selecionar 20 placas aqui.
Passo 3
Para usar a distribuição multinomial, precisamos verificar alguns elementos:
- Número de tentativas (
): Aqui, são 20 placas. - Probabilidades das categorias (
): (alta), (média), (baixa). - Número de ocorrências em cada categoria (
): Queremos encontrar a probabilidade de haver placas altas, médias e baixas.
Passo 4
A fórmula da distribuição multinomial é:
Onde:
-
-
é o fatorial de -
é a probabilidade da categoria elevada ao número de ocorrências nessa categoria.
Passo 5
Agora, aplicando os valores do problema:
-
-
, , -
Então, a distribuição conjunta fica:
Passo 6
Portanto, os nomes e valores da distribuição de probabilidades conjuntas de
,
e
são definidos pela distribuição multinomial com parâmetros
e
,
,
, e a expressão da probabilidade conjunta é:
Resposta
A distribuição de probabilidades conjuntas de
,
e
é a distribuição multinomial com parâmetros
,
,
e
, dada por: