Baseados no número de vazios, uma placa de ferrita é classificada como alta, média ou baixa. Historicamente, 5 % das placas são classificadas como altas, 80 % como médias e 15 % como baixas. Uma amostra de 20 placas é seleccionado para teste. Faça X1, X2 e X3 denotarem o número de placas que são classificadas, independentemente, como altas, médias e baixas, respectivamente.
(a) Quais são os nomes e os valores da distribuição de probabilidades conjuntas de X1, X2 e X3 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de ferrita que pode ser classificada como alta, média ou baixa, com probabilidades de 5%, 80% e 15% respectivamente. Selecionamos uma amostra de 20 placas e definimos X1, X2 e X3 como o número de placas classificadas como alta, média e baixa. A pergunta é: quais são os nomes e os valores da distribuição de probabilidades conjuntas de X1, X2 e X3?
Vamos precisar entender de distribuições de probabilidade e, mais especificamente, da distribuição multinomial, que é usada quando temos mais de duas categorias.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a distribuição multinomial. Ela generaliza a distribuição binomial para mais de duas categorias. No nosso caso, temos três categorias: alta, média e baixa. A distribuição multinomial nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter um certo número de ocorrências em cada categoria quando realizamos um experimento várias vezes, como selecionar 20 placas aqui.

Passo 3

Para usar a distribuição multinomial, precisamos verificar alguns elementos:
  1. Número de tentativas ( n): Aqui, são 20 placas.
  2. Probabilidades das categorias ( p1, p2, p3): p1 = 0.05 (alta), p2 = 0.80 (média), p3 = 0.15 (baixa).
  3. Número de ocorrências em cada categoria ( x1, x2, x3): Queremos encontrar a probabilidade de haver x1 placas altas, x2 médias e x3 baixas.

Passo 4

A fórmula da distribuição multinomial é:
P(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) = n!x1! , x2! , x3! , p1^x1 , p2^x2 , p3^x3
Onde:
  • n! = n times (n-1) times dots times 1
  • xi! é o fatorial de xi
  • pi^xi é a probabilidade da categoria i elevada ao número de ocorrências nessa categoria.

Passo 5

Agora, aplicando os valores do problema:
  • n = 20
  • p1 = 0.05, p2 = 0.80, p3 = 0.15
  • x1 + x2 + x3 = 20
Então, a distribuição conjunta fica:
P(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) = 20!x1! , x2! , x3! , (0.05)^x1 , (0.80)^x2 , (0.15)^x3

Passo 6

Portanto, os nomes e valores da distribuição de probabilidades conjuntas de X1, X2 e X3 são definidos pela distribuição multinomial com parâmetros n = 20 e p1 = 0.05, p2 = 0.80, p3 = 0.15, e a expressão da probabilidade conjunta é:
P(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) = 20!x1! , x2! , x3! , (0.05)^x1 , (0.80)^x2 , (0.15)^x3

Resposta

A distribuição de probabilidades conjuntas de X1, X2 e X3 é a distribuição multinomial com parâmetros n = 20, p1 = 0.05, p2 = 0.80 e p3 = 0.15, dada por:
P(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) = 20!x1! , x2! , x3! , (0.05)^x1 , (0.80)^x2 , (0.15)^x3

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